Wanneer gebruik je een binomiale verdeling?

Binomiale kansverdelingen zijn nuttig in een aantal instellingen. Het is belangrijk om te weten wanneer dit type distributie moet worden gebruikt. We zullen alle voorwaarden onderzoeken die nodig zijn om een ​​binomiale verdeling te gebruiken.

De basisfuncties die we moeten hebben, zijn in totaal n onafhankelijke proeven worden uitgevoerd en we willen de waarschijnlijkheid van ontdekken r successen, waarbij elk succes waarschijnlijk is p van optreden. Er worden verschillende dingen gezegd en geïmpliceerd in deze korte beschrijving. De definitie komt neer op deze vier voorwaarden:

1. Vast aantal proeven
2. Onafhankelijke proeven
3. Twee verschillende classificaties
4. De kans op succes blijft voor alle proeven gelijk

Al deze moeten aanwezig zijn in het onderzochte proces om de binomiale waarschijnlijkheidsformule of tabellen te kunnen gebruiken. Een korte beschrijving van elk van deze volgt.

Vaste proeven

Het te onderzoeken proces moet een duidelijk gedefinieerd aantal proeven hebben dat niet varieert. We kunnen dit aantal niet halverwege onze analyse wijzigen. Elke proef moet op dezelfde manier worden uitgevoerd als alle andere, hoewel de resultaten kunnen variëren. Het aantal proeven wordt aangegeven met een n in de formule.

Een voorbeeld van het hebben van vaste proeven voor een proces zou het bestuderen van de resultaten van het tien keer gooien van een dobbelsteen omvatten. Hier is elke worp van de dobbelsteen een beproeving. Het totale aantal keren dat elke proef wordt uitgevoerd, wordt vanaf het begin bepaald.

Onafhankelijke proeven

Elk van de proeven moet onafhankelijk zijn. Elke proef zou absoluut geen effect moeten hebben op een van de andere. De klassieke voorbeelden van twee dobbelstenen gooien of meerdere munten omdraaien illustreren onafhankelijke gebeurtenissen. Omdat de gebeurtenissen onafhankelijk zijn, kunnen we de vermenigvuldigingsregel gebruiken om de waarschijnlijkheden samen te vermenigvuldigen.

In de praktijk, vooral vanwege enkele bemonsteringstechnieken, kunnen er momenten zijn dat proeven technisch niet onafhankelijk zijn. Een binomiale verdeling kan soms in deze situaties worden gebruikt, zolang de populatie groter is dan de steekproef.

Twee classificaties

Elk van de proeven is gegroepeerd in twee classificaties: successen en mislukkingen. Hoewel we succes meestal als positief beschouwen, moeten we deze term niet teveel doorlezen. We geven aan dat het proces een succes is, omdat het overeenkomt met wat we hebben besloten om een ​​succes te noemen.

Als een extreem geval om dit te illustreren, stel dat we het faalpercentage van gloeilampen testen. Als we willen weten hoeveel in een batch niet zullen werken, kunnen we het succes van onze proef definiëren als we een gloeilamp hebben die niet werkt. Een mislukking van de proef is wanneer de gloeilamp werkt. Dit klinkt misschien wat achterlijk, maar er kunnen enkele goede redenen zijn om de successen en mislukkingen van onze proef te definiëren zoals we hebben gedaan. Voor markeringsdoeleinden kan het de voorkeur hebben om te benadrukken dat er een lage kans is dat een gloeilamp niet werkt, in plaats van een hoge kans dat een gloeilamp werkt.

Dezelfde kansen

De kansen op succesvolle proeven moeten tijdens het hele proces dat we bestuderen hetzelfde blijven. Munten omdraaien is hiervan een voorbeeld. Hoeveel munten er ook worden gegooid, de kans op het omdraaien van een kop is elke keer 1/2.

Dit is een andere plaats waar theorie en praktijk enigszins verschillen. Bemonstering zonder vervanging kan ertoe leiden dat de kansen van elke proef enigszins van elkaar fluctueren. Stel dat er 20 beagles zijn op 1000 honden. De kans om willekeurig een beagle te kiezen is 20/1000 = 0,020. Kies nu opnieuw uit de resterende honden. Er zijn 19 beagles van 999 honden. De kans om een ​​andere beagle te selecteren is 19/999 = 0.019. De waarde 0,2 is een geschikte schatting voor beide proeven. Zolang de populatie groot genoeg is, vormt dit soort schattingen geen probleem bij het gebruik van de binomiale verdeling.