Wat is de lege set in Set Theory?

Wanneer kan niets iets zijn? Het lijkt een domme vraag en nogal paradoxaal. In het wiskundige veld van de verzamelingenleer is het routine dat niets iets anders is dan niets. Hoe kan dit zijn?

Wanneer we een set zonder elementen vormen, hebben we niet langer niets. We hebben een set met niets erin. Er is een speciale naam voor de set die geen elementen bevat. Dit wordt de lege of nulset genoemd.

Een subtiel verschil

De definitie van de lege set is vrij subtiel en vereist een beetje nadenken. Het is belangrijk om te onthouden dat we een set beschouwen als een verzameling elementen. De set zelf verschilt van de elementen die deze bevat.

We kijken bijvoorbeeld naar 5, een set met element 5. De set 5 is geen nummer. Het is een set met het getal 5 als element, terwijl 5 een getal is.

Op dezelfde manier is de lege set niet niets. In plaats daarvan is het de set zonder elementen. Het helpt om sets als containers te beschouwen, en de elementen zijn die dingen die we erin stoppen. Een lege container is nog steeds een container en is analoog aan de lege set.

Het unieke van de lege set

De lege set is uniek, daarom is het volkomen gepast om over te praten de lege set, in plaats van een lege set. Hierdoor onderscheidt de lege set zich van andere sets. Er zijn oneindig veel sets met één element erin. De sets a, 1, b en 123 hebben elk één element en zijn dus gelijk aan elkaar. Omdat de elementen zelf van elkaar verschillen, zijn de sets niet gelijk.

Er is niets speciaals aan de bovenstaande voorbeelden met elk één element. Op één uitzondering na, voor elk telnummer of oneindig, zijn er oneindig veel sets van die grootte. De uitzondering is voor het getal nul. Er is slechts één set, de lege set, zonder elementen erin.

Het wiskundige bewijs van dit feit is niet moeilijk. We nemen eerst aan dat de lege set niet uniek is, dat er twee sets zijn zonder elementen, en gebruiken vervolgens een paar eigenschappen uit de settheorie om aan te tonen dat deze veronderstelling een tegenspraak inhoudt.

Notatie en terminologie voor de lege set

De lege set wordt aangeduid met het symbool ∅, dat afkomstig is van een soortgelijk symbool in het Deense alfabet. Sommige boeken verwijzen naar de lege set met de alternatieve naam nulset.

Eigenschappen van de lege set

Aangezien er slechts één lege set is, is het de moeite waard om te zien wat er gebeurt wanneer de setbewerkingen van kruising, unie en complement worden gebruikt met de lege set en een algemene set die we zullen aanduiden met X. Het is ook interessant om een ​​subset van de lege set te overwegen en wanneer is de lege set een subset. Deze feiten worden hieronder verzameld:

• Het snijpunt van een set met de lege set is de lege set. Dit komt omdat er geen elementen in de lege set zijn en daarom hebben de twee sets geen elementen gemeen. In symbolen schrijven we X ∩ ∅ = ∅.
• De unie van elke set met de lege set is de set waarmee we zijn begonnen. Dit komt omdat er geen elementen in de lege set zijn en daarom voegen we geen elementen aan de andere set toe wanneer we de unie vormen. In symbolen schrijven we X U ∅ = X.
• Het complement van de lege set is de universele set voor de instelling waarin we werken. Dit komt omdat de set van alle elementen die zich niet in de lege set bevinden, gewoon de set van alle elementen is.
• De lege set is een subset van elke set. Dit komt omdat we subsets van een set vormen X door elementen uit te selecteren (of niet te selecteren) X. Een optie voor een subset is om helemaal geen elementen uit te gebruiken X. Dit geeft ons de lege set.