Wat is het verschil tussen twee sets in de set-theorie?

Het verschil van twee sets, geschreven EEN - B is de verzameling van alle elementen van EEN dat zijn geen elementen van B. De verschiloperatie, samen met unie en kruising, is een belangrijke en fundamentele set-theorie operatie.

Beschrijving van het verschil

Het aftrekken van het ene getal van het andere kan op veel verschillende manieren worden gedacht. Een model om dit concept te helpen begrijpen, wordt het afhaalmodel van aftrekking genoemd. Hierin zou het probleem 5 - 2 = 3 worden aangetoond door te beginnen met vijf objecten, twee ervan te verwijderen en te tellen dat er nog drie over waren. Op een vergelijkbare manier dat we het verschil tussen twee getallen vinden, kunnen we het verschil van twee sets vinden.

Een voorbeeld

We zullen een voorbeeld van het ingestelde verschil bekijken. Laten we de sets bekijken om te zien hoe het verschil tussen twee sets een nieuwe set vormt EEN = 1, 2, 3, 4, 5 en B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Om het verschil te vinden EEN - B van deze twee sets beginnen we met het schrijven van alle elementen van EEN, en neem dan elk element van weg EEN dat is ook een element van B. Sinds EEN deelt de elementen 3, 4 en 5 met B, dit geeft ons het vastgestelde verschil EEN - B = 1, 2.

Bestelling is belangrijk

Net zoals de verschillen 4 - 7 en 7 - 4 ons verschillende antwoorden geven, moeten we voorzichtig zijn met de volgorde waarin we het ingestelde verschil berekenen. Om een ​​technische term uit de wiskunde te gebruiken, zouden we zeggen dat de ingestelde operatie van verschil niet commutatief is. Dit betekent dat we in het algemeen de volgorde van het verschil van twee sets niet kunnen veranderen en hetzelfde resultaat verwachten. We kunnen dat preciezer stellen voor alle sets EEN en B, EEN - B is niet gelijk aan B - EEN.

Raadpleeg het bovenstaande voorbeeld om dit te zien. We hebben dat berekend voor de sets EEN = 1, 2, 3, 4, 5 en B = 3, 4, 5, 6, 7, 8, het verschil EEN - B = 1, 2. Om dit te vergelijken met B - EEN, we beginnen met de elementen van B, die 3, 4, 5, 6, 7, 8 zijn en verwijder vervolgens de 3, de 4 en de 5 omdat deze gemeen hebben met EEN. Het resultaat is B - EEN = 6, 7, 8. Dit voorbeeld laat ons dat duidelijk zien A - B is niet gelijk aan B - A.

De aanvulling

Eén soort verschil is belangrijk genoeg om zijn eigen speciale naam en symbool te rechtvaardigen. Dit wordt het complement genoemd en het wordt gebruikt voor het setverschil wanneer de eerste set de universele set is. Het complement van EEN wordt gegeven door de uitdrukking U - EEN. Dit verwijst naar de verzameling van alle elementen in de universele verzameling die geen elementen zijn van EEN. Aangezien het duidelijk is dat de verzameling elementen waaruit we kunnen kiezen, afkomstig zijn van de universele verzameling, kunnen we eenvoudig zeggen dat het complement van EEN is de set bestaande uit elementen die geen elementen zijn van EEN.

Het complement van een set is relatief ten opzichte van de universele set waarmee we werken. Met EEN = 1, 2, 3 en U = 1, 2, 3, 4, 5, het complement van EEN is 4, 5. Als onze universele set anders is, zeg U = -3, -2, 0, 1, 2, 3, vervolgens het complement van EEN -3, -2, -1, 0. Let altijd op de universele set die wordt gebruikt.

Notatie voor de aanvulling

Het woord "complement" begint met de letter C, en dit wordt dus gebruikt in de notatie. Het complement van de set EEN is geschreven als EEN^C. Dus we kunnen de definitie van het complement in symbolen uitdrukken als: EEN^C = U - EEN.

Een andere manier die gewoonlijk wordt gebruikt om het complement van een set aan te duiden, is een apostrof en wordt geschreven als EEN'.

Andere identiteiten met betrekking tot het verschil en de aanvullingen

Er zijn veel vaste identiteiten waarbij gebruik wordt gemaakt van de verschil- en complement-bewerkingen. Sommige identiteiten combineren andere ingestelde bewerkingen zoals het snijpunt en de unie. Enkele van de belangrijkste zijn hieronder vermeld. Voor alle sets EEN, en B en D wij hebben:

• EEN - EEN = ∅
• EEN - ∅ = EEN
• ∅ - EEN = ∅
• EEN - U = ∅
• (EEN^C)^C = EEN
• DeMorgan's Law I: (EEN ∩ B)^C = EEN^C ∪ B^C
• Wet II van DeMorgan: (EEN ∪ B)^C = EEN^C ∩ B^C