Inzicht in de factor (!) In wiskunde en statistiek

In de wiskunde kunnen symbolen met bepaalde betekenissen in de Engelse taal zeer gespecialiseerde en verschillende dingen betekenen. Overweeg bijvoorbeeld de volgende uitdrukking:

3!

Nee, we hebben het uitroepteken niet gebruikt om aan te tonen dat we enthousiast zijn over drie en we moeten de laatste zin niet met nadruk lezen. In wiskunde is de uitdrukking 3! wordt gelezen als "drie faculteit" en is echt een korte manier om de vermenigvuldiging van meerdere opeenvolgende hele getallen aan te geven.

Omdat er op veel plaatsen in wiskunde en statistiek getallen moeten worden vermenigvuldigd, is de faculteit behoorlijk nuttig. Enkele van de belangrijkste plaatsen waar het verschijnt, zijn combinatoriek en waarschijnlijkheidsrekening.

Definitie

De definitie van de faculteit is die voor elk positief geheel getal n, de factor:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x ... x 2 x 1

Voorbeelden voor kleine waarden

Eerst zullen we enkele voorbeelden van de faculteit bekijken met kleine waarden van n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Zoals we kunnen zien wordt de faculteit zeer snel zeer groot. Iets dat klein lijkt, zoals 20! heeft eigenlijk 19 cijfers.

Factorials zijn gemakkelijk te berekenen, maar ze kunnen enigszins vervelend zijn om te berekenen. Gelukkig hebben veel rekenmachines een factorenleutel (zoek naar het! -Symbool). Deze functie van de calculator automatiseert de vermenigvuldigingen.

Een speciaal geval

Een andere waarde van de faculteit en een waarvoor de standaarddefinitie hierboven niet geldt, is die van nul faculteit. Als we de formule volgen, zouden we geen waarde voor 0 bereiken !. Er zijn geen positieve gehele getallen kleiner dan 0. Om verschillende redenen is het gepast om 0 te definiëren! = 1. De faculteit voor deze waarde wordt met name weergegeven in de formules voor combinaties en permutaties.

Meer geavanceerde berekeningen

Bij het omgaan met berekeningen is het belangrijk om na te denken voordat we op de factortoets op onze rekenmachine drukken. Om een ​​uitdrukking zoals 100! / 98! Te berekenen er zijn een aantal verschillende manieren om dit aan te pakken.

Een manier is om een ​​rekenmachine te gebruiken om beide 100 te vinden! en 98 !, deel dan de een door de ander. Hoewel dit een directe manier is om te berekenen, zijn er enkele problemen mee verbonden. Sommige rekenmachines kunnen geen uitdrukkingen tot 100 aan! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (De uitdrukking 10¹⁵⁷ is een wetenschappelijke notatie die betekent dat we vermenigvuldigen met 1 gevolgd door 157 nullen.) Dit aantal is niet alleen enorm, maar het is ook slechts een schatting van de reële waarde van 100!

Een andere manier om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen met faculteiten zoals die hier te zien is, vereist helemaal geen rekenmachine. De manier om dit probleem aan te pakken is te herkennen dat we 100 kunnen herschrijven! niet als 100 x 99 x 98 x 97 x ... x 2 x 1, maar in plaats daarvan als 100 x 99 x 98! De uitdrukking 100! / 98! wordt nu (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.