Waarschijnlijkheden in het spel Monopoly

Monopoly is een bordspel waarin spelers het kapitalisme in daden omzetten. Spelers kopen en verkopen eigenschappen en brengen elkaar huur in rekening. Hoewel er sociale en strategische delen van het spel zijn, verplaatsen spelers hun stukken over het bord door twee standaard zeszijdige dobbelstenen te gooien. Omdat dit bepaalt hoe de spelers bewegen, is er ook een aspect van waarschijnlijkheid in het spel. Door slechts enkele feiten te kennen, kunnen we berekenen hoe waarschijnlijk het is om op bepaalde plaatsen te landen tijdens de eerste twee beurten aan het begin van het spel.

De dobbelsteen

Bij elke beurt gooit een speler twee dobbelstenen en verplaatst dan zijn of haar stuk zoveel spaties op het bord. Het is dus nuttig om de kansen voor het werpen van twee dobbelstenen te beoordelen. Samenvattend zijn de volgende bedragen mogelijk:

Een som van twee heeft waarschijnlijkheid 1/36.
Een som van drie heeft waarschijnlijkheid 2/36.
Een som van vier heeft waarschijnlijkheid 3/36.
Een som van vijf heeft kans 4/36.
Een som van zes heeft waarschijnlijkheid 5/36.
Een som van zeven heeft waarschijnlijkheid 6/36.
Een som van acht heeft waarschijnlijkheid 5/36.
Een som van negen heeft waarschijnlijkheid 4/36.
Een som van tien heeft waarschijnlijkheid 3/36.
Een som van elf heeft waarschijnlijkheid 2/36.
Een som van twaalf heeft waarschijnlijkheid 1/36.

Deze kansen zullen erg belangrijk zijn naarmate we verdergaan.

Het monopoly-speelbord

We moeten ook kennis nemen van het Monopoly-spelbord. Er zijn in totaal 40 velden rond het speelbord, met 28 van deze eigenschappen, spoorwegen of hulpprogramma's die kunnen worden gekocht. Zes spaties omvatten het trekken van een kaart uit de stapels Chance of Community Chest. Drie spaties zijn vrije spaties waarin niets gebeurt. Twee ruimtes met belastingbetalingen: inkomstenbelasting of luxe belasting. Eén spatie stuurt de speler naar de gevangenis.

We zullen alleen de eerste twee beurten van een spelletje Monopoly bekijken. In de loop van deze beurten is het verste om het bord rond te komen, twee keer twaalf rollen en in totaal 24 velden verplaatsen. We zullen dus alleen de eerste 24 velden op het bord onderzoeken. In volgorde zijn deze spaties:

Mediterrane Avenue
Communautaire borst
Baltische Avenue
Inkomstenbelasting
Spoorweg lezen
Oosterse Avenue
Kans
Vermont Avenue
Connecticut Tax
Gewoon een bezoek aan de gevangenis
St. James Place
Elektriciteitsbedrijf
States Avenue
Virginia Avenue
Pennsylvania Railroad
St. James Place
Communautaire borst
Tennessee Avenue
New York Avenue
Gratis parkeren
Kentucky Avenue
Kans
Indiana Avenue
Illinois Avenue

Eerste beurt

De eerste bocht is relatief eenvoudig. Omdat we kansen hebben om twee dobbelstenen te werpen, matchen we deze eenvoudig met de juiste vierkanten. De tweede spatie is bijvoorbeeld een Community Chest-vierkant en er is een 1/36 kans om een som van twee te gooien. Er is dus een 1/36 kans om bij de eerste beurt op Community Chest te landen.

Hieronder staan de kansen om bij de eerste beurt op de volgende velden te landen:

Communautaire borst - 1/36
Baltic Avenue - 2/36
Inkomstenbelasting - 3/36
Lezingsspoorweg - 4/36
Oriental Avenue - 5/36
Kans - 6/36
Vermont Avenue - 5/36
Connecticut-belasting - 4/36
Gewoon een bezoek aan de gevangenis - 3/36
St. James Place - 2/36
Elektrisch bedrijf - 1/36

Tweede beurt

Het berekenen van de kansen voor de tweede beurt is iets moeilijker. We kunnen een totaal van twee rollen in beide beurten en gaan minimaal vier spaties, of een totaal van 12 in beide beurten en gaan maximaal 24 spaties. Eventuele spaties tussen vier en 24 kunnen ook worden bereikt. Maar deze kunnen op verschillende manieren worden gedaan. We kunnen bijvoorbeeld in totaal zeven spaties verplaatsen door een van de volgende combinaties te verplaatsen:

Twee spaties bij de eerste beurt en vijf spaties bij de tweede beurt
Drie spaties bij de eerste beurt en vier spaties bij de tweede beurt
Vier spaties bij de eerste beurt en drie spaties bij de tweede beurt
Vijf spaties bij de eerste beurt en twee spaties bij de tweede beurt

We moeten al deze mogelijkheden overwegen bij het berekenen van kansen. De worpen van elke beurt zijn onafhankelijk van de worp van de volgende beurt. We hoeven ons dus geen zorgen te maken over voorwaardelijke waarschijnlijkheid, maar we moeten gewoon elk van de kansen vermenigvuldigen:

De kans om een twee en vervolgens een vijf te gooien is (1/36) x (4/36) = 4/1296.
De kans om een drie en vervolgens een vier te gooien is (2/36) x (3/36) = 6/1296.
De kans om een vier en vervolgens een drie te gooien is (3/36) x (2/36) = 6/1296.
De kans om een vijf en vervolgens een twee te gooien is (4/36) x (1/36) = 4/1296.

Wederzijds exclusieve toevoeging regel

Andere kansen voor twee beurten worden op dezelfde manier berekend. Voor elk geval moeten we alle mogelijke manieren bedenken om een totaalbedrag te verkrijgen dat overeenkomt met dat veld van het bord. Hieronder staan de kansen (afgerond op de dichtstbijzijnde honderdste procent) van de landing op de volgende velden bij de eerste bocht:

Inkomstenbelasting - 0,08%
Lezingsspoorweg - 0,31%
Oriental Avenue - 0.77%
Kans - 1,54%
Vermont Avenue - 2,70%
Connecticut-belasting - 4,32%
Gewoon een bezoek aan de gevangenis - 6,17%
St. James Place - 8,02%
Elektrisch bedrijf - 9,65%
States Avenue - 10,80%
Virginia Avenue - 11,27%
Pennsylvania Railroad - 10.80%
St. James Place - 9.65%
Communautaire borst - 8,02%
Tennessee Avenue 6,17%
New York Avenue 4,32%
Gratis parkeren - 2,70%
Kentucky Avenue - 1,54%
Kans - 0,77%
Indiana Avenue - 0,31%
Illinois Avenue - 0,08%

Meer dan drie beurten

Voor meer bochten wordt de situatie nog moeilijker. Een reden is dat we in de regels van het spel als we drie keer achter elkaar dubbelen rollen naar de gevangenis gaan. Deze regel zal onze kansen beïnvloeden op manieren die we niet eerder hadden moeten overwegen. Naast deze regel zijn er effecten van de toevallige en gemeenschappelijke borstkaarten die we niet overwegen. Sommige van deze kaarten geven spelers de opdracht om spaties over te slaan en rechtstreeks naar bepaalde spaties te gaan.

Vanwege de toegenomen rekencomplexiteit wordt het gemakkelijker om kansen te berekenen voor meer dan slechts een paar beurten met behulp van Monte Carlo-methoden. Computers kunnen honderdduizenden, zo niet miljoenen Monopoly-spellen simuleren, en de waarschijnlijkheid van landen op elke ruimte kan empirisch worden berekend uit deze spellen.

Wetenschap