Kans op twee dobbelstenen gooien
Share
Een populaire manier om waarschijnlijkheid te bestuderen, is dobbelstenen gooien. Een standaard dobbelsteen heeft zes zijden bedrukt met kleine puntjes met de nummers 1, 2, 3, 4, 5 en 6. Als de dobbelsteen eerlijk is (en we gaan ervan uit dat ze dat allemaal zijn), dan is elk van deze uitkomsten even waarschijnlijk. Omdat er zes mogelijke uitkomsten zijn, is de kans op het verkrijgen van een zijde van de dobbelsteen 1/6. De kans om een 1 te rollen is 1/6, de kans om een 2 te rollen is 1/6, enzovoort. Maar wat gebeurt er als we nog een dobbelsteen toevoegen? Wat zijn de kansen om twee dobbelstenen te gooien?
Dobbelstenen waarschijnlijkheid
Om de kans op een dobbelsteen correct te bepalen, moeten we twee dingen weten:
- De grootte van de voorbeeldruimte of de set van totaal mogelijke resultaten
- Hoe vaak een gebeurtenis voorkomt
Waarschijnlijk is een gebeurtenis een bepaalde subset van de voorbeeldruimte. Wanneer bijvoorbeeld slechts één dobbelsteen wordt gegooid, zoals in het bovenstaande voorbeeld, is de monsterruimte gelijk aan alle waarden op de dobbelsteen of de set (1, 2, 3, 4, 5, 6). Omdat de dobbelsteen eerlijk is, komt elk nummer in de set slechts één keer voor. Met andere woorden, de frequentie van elk nummer is 1. Om de waarschijnlijkheid van het rollen van een van de nummers op de dobbelsteen te bepalen, delen we de gebeurtenisfrequentie (1) door de grootte van de monsterruimte (6), wat resulteert in een waarschijnlijkheid van 1/6.
Twee eerlijke dobbelstenen gooien verdubbelt meer dan de moeilijkheid van het berekenen van kansen. Dit komt omdat het rollen van een dobbelsteen onafhankelijk is van het rollen van een tweede dobbelsteen. De ene rol heeft geen effect op de andere. Bij het omgaan met onafhankelijke gebeurtenissen gebruiken we de vermenigvuldigingsregel. Het gebruik van een boomdiagram toont aan dat er 6 x 6 = 36 mogelijke uitkomsten zijn van twee dobbelstenen gooien.
Stel dat de eerste dobbelsteen die we werpen als een 1 komt. De andere dobbelsteenwals kan een 1, 2, 3, 4, 5 of 6 zijn. Stel nu dat de eerste dobbelsteen een 2 is. a 1, 2, 3, 4, 5 of 6. We hebben al 12 mogelijke resultaten gevonden en moeten de mogelijkheden van de eerste dobbelsteen nog niet op.
Waarschijnlijkheidstabel van twee dobbelstenen gooien
De mogelijke resultaten van het werpen van twee dobbelstenen worden weergegeven in de onderstaande tabel. Merk op dat het aantal totaal mogelijke uitkomsten gelijk is aan de monsterruimte van de eerste dobbelsteen (6) vermenigvuldigd met de monsterruimte van de tweede dobbelsteen (6), die 36 is.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Drie of meer dobbelstenen
Hetzelfde principe is van toepassing als we werken aan problemen met drie dobbelstenen. We vermenigvuldigen en zien dat er 6 x 6 x 6 = 216 mogelijke uitkomsten zijn. Omdat het omslachtig wordt om de herhaalde vermenigvuldiging te schrijven, kunnen we exponenten gebruiken om het werk te vereenvoudigen. Voor twee dobbelstenen zijn er 6 ^ 2 mogelijke uitkomsten. Voor drie dobbelstenen zijn er 6 ^ 3 mogelijke uitkomsten. In het algemeen, als we rollen n dobbelstenen, dan zijn er in totaal 6 ^n mogelijke uitkomsten.
Voorbeeldproblemen
Met deze kennis kunnen we allerlei waarschijnlijkheidsproblemen oplossen:
1. Twee zeszijdige dobbelstenen worden gegooid. Wat is de kans dat de som van de twee dobbelstenen zeven is?
De eenvoudigste manier om dit probleem op te lossen, is de bovenstaande tabel te raadplegen. Je zult zien dat er in elke rij een dobbelsteenrol is waarbij de som van de twee dobbelstenen gelijk is aan zeven. Omdat er zes rijen zijn, zijn er zes mogelijke uitkomsten waarbij de som van de twee dobbelstenen gelijk is aan zeven. Het aantal totaal mogelijke uitkomsten blijft 36. Opnieuw vinden we de waarschijnlijkheid door de gebeurtenisfrequentie (6) te delen door de grootte van de steekproefruimte (36), resulterend in een waarschijnlijkheid van 1/6.
2. Twee zeszijdige dobbelstenen worden gegooid. Wat is de kans dat de som van de twee dobbelstenen drie is?
In het vorige probleem is het je misschien opgevallen dat de cellen waarvan de som van de twee dobbelstenen gelijk is aan zeven een diagonaal vormen. Hetzelfde is hier waar, behalve dat er in dit geval slechts twee cellen zijn waarbij de som van de dobbelstenen drie is. Dat komt omdat er maar twee manieren zijn om dit resultaat te krijgen. Je moet een 1 en een 2 gooien of je moet een 2 en een 1 gooien. De combinaties voor het rollen van een som van zeven zijn veel groter (1 en 6, 2 en 5, 3 en 4, enzovoort). Om de kans te vinden dat de som van de twee dobbelstenen drie is, kunnen we de gebeurtenisfrequentie (2) delen door de grootte van de steekproefruimte (36), wat resulteert in een waarschijnlijkheid van 1/18.
3. Twee zeszijdige dobbelstenen worden gegooid. Wat is de kans dat de cijfers op de dobbelstenen verschillen?
Nogmaals, we kunnen dit probleem eenvoudig oplossen door de bovenstaande tabel te raadplegen. Je zult zien dat de cellen waar de cijfers op de dobbelstenen hetzelfde zijn een diagonaal vormen. Er zijn er maar zes en als we ze doorstrepen hebben we de resterende cellen waarin de cijfers op de dobbelstenen verschillen. We kunnen het aantal combinaties (30) nemen en dit delen door de grootte van de monsterruimte (36), wat resulteert in een waarschijnlijkheid van 5/6.
