Kans op drie dobbelstenen gooien

Dobbelstenen bieden geweldige illustraties voor waarschijnlijkheidsconcepten. De meest gebruikte dobbelstenen zijn kubussen met zes zijden. Hier zullen we zien hoe we kansen kunnen berekenen voor het werpen van drie standaard dobbelstenen. Het is een relatief standaardprobleem om de waarschijnlijkheid te berekenen van de som die wordt verkregen door twee dobbelstenen te werpen. Er zijn in totaal 36 verschillende rollen met twee dobbelstenen, met een som van 2 tot 12 mogelijk. Hoe verandert het probleem als we meer dobbelstenen toevoegen?

Mogelijke resultaten en bedragen

Net zoals een dobbelsteen zes uitkomsten heeft en twee dobbelstenen er 6 hebben² = 36 uitkomsten, het kanssexperiment van drie dobbelstenen gooien heeft 6³ = 216 resultaten. Dit idee generaliseert verder voor meer dobbelstenen. Als we rollen n dobbelstenen dan zijn er 6ⁿ uitkomsten.

We kunnen ook rekening houden met de mogelijke bedragen van het gooien van meerdere dobbelstenen. De kleinst mogelijke som komt voor wanneer alle dobbelstenen de kleinst zijn, of elk een. Dit geeft een som van drie als we drie dobbelstenen gooien. Het grootste aantal op een dobbelsteen is zes, wat betekent dat de grootst mogelijke som optreedt als alle drie de dobbelstenen zes zijn. De som van deze situatie is 18.

Wanneer n dobbelstenen worden gegooid, de minst mogelijke som is n en de grootst mogelijke som is 6n.

Er is een mogelijke manier waarop drie dobbelstenen in totaal 3 kunnen vormen
3 manieren voor 4
6 voor 5
10 voor 6
15 voor 7
21 voor 8
25 voor 9
27 voor 10
27 voor 11
25 voor 12
21 voor 13
15 voor 14
10 voor 15
6 voor 16
3 voor 17
1 voor 18

Sommen vormen

Zoals hierboven besproken, omvatten voor drie dobbelstenen de mogelijke sommen elk getal van drie tot 18. De kansen kunnen worden berekend door telstrategieën te gebruiken en te erkennen dat we manieren zoeken om een getal in exact drie hele getallen te verdelen. De enige manier om bijvoorbeeld een som van drie te verkrijgen is 3 = 1 + 1 + 1. Omdat elke dobbelsteen onafhankelijk is van de andere, kan een som zoals vier op drie verschillende manieren worden verkregen:

1 + 1 + 2
1 + 2 + 1
2 + 1 + 1

Verdere telargumenten kunnen worden gebruikt om het aantal manieren te vinden om de andere bedragen te vormen. De partities voor elke som volgen:

3 = 1 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
17 = 6 + 6 + 5
18 = 6 + 6 + 6

Wanneer drie verschillende getallen de partitie vormen, zoals 7 = 1 + 2 + 4, zijn er 3! (3x2x1) verschillende manieren om deze getallen te permuteren. Dit zou dus meetellen voor drie uitkomsten in de voorbeeldruimte. Wanneer twee verschillende nummers de partitie vormen, zijn er drie verschillende manieren om deze nummers te permuteren.

Specifieke kansen

We delen het totale aantal manieren om elke som te verkrijgen door het totale aantal resultaten in de steekproefruimte, of 216. De resultaten zijn:

Waarschijnlijkheid van een som van 3: 1/216 = 0,5%
Waarschijnlijkheid van een som van 4: 3/216 = 1,4%
Kans op een som van 5: 6/216 = 2,8%
Kans op een som van 6: 10/216 = 4,6%
Waarschijnlijkheid van een som van 7: 15/216 = 7,0%
Kans op een som van 8: 21/216 = 9,7%
Kans op een som van 9: 25/216 = 11,6%
Kans op een som van 10: 27/216 = 12,5%
Waarschijnlijkheid van een som van 11: 27/216 = 12,5%
Waarschijnlijkheid van een som van 12: 25/216 = 11,6%
Kans op een som van 13: 21/216 = 9,7%
Kans op een som van 14: 15/216 = 7,0%
Kans op een som van 15: 10/216 = 4,6%
Waarschijnlijkheid van een som van 16: 6/216 = 2,8%
Waarschijnlijkheid van een som van 17: 3/216 = 1,4%
Waarschijnlijkheid van een som van 18: 1/216 = 0,5%

Zoals te zien is, zijn de extreme waarden van 3 en 18 het minst waarschijnlijk. De bedragen die precies in het midden liggen, zijn het meest waarschijnlijk. Dit komt overeen met wat werd waargenomen toen twee dobbelstenen werden gegooid.

Wetenschap