Maximum- en buigpunten van de Chi-kwadraatverdeling

Wiskundige statistieken gebruiken technieken uit verschillende takken van wiskunde om definitief te bewijzen dat uitspraken over statistieken waar zijn. We zullen zien hoe we calculus kunnen gebruiken om de hierboven genoemde waarden te bepalen van zowel de maximale waarde van de chikwadraatverdeling, die overeenkomt met zijn modus, als ook de buigpunten van de verdeling vinden. 

Voordat we dit doen, zullen we de kenmerken van maxima en buigpunten in het algemeen bespreken. We zullen ook een methode onderzoeken om de buigpunten maximaal te berekenen.

Een modus berekenen met Calculus

Voor een afzonderlijke set gegevens is de modus de meest voorkomende waarde. Op een histogram van de gegevens zou dit worden weergegeven door de hoogste balk. Zodra we de hoogste balk kennen, kijken we naar de gegevenswaarde die overeenkomt met de basis voor deze balk. Dit is de modus voor onze gegevensset. 

Hetzelfde idee wordt gebruikt bij het werken met een continue distributie. Dit keer om de modus te vinden, zoeken we naar de hoogste piek in de verdeling. Voor een grafiek van deze verdeling is de hoogte van de piek een y-waarde. Deze y-waarde wordt een maximum voor onze grafiek genoemd omdat de waarde groter is dan elke andere y-waarde. De modus is de waarde langs de horizontale as die overeenkomt met deze maximale y-waarde. 

Hoewel we eenvoudig naar een grafiek van een distributie kunnen kijken om de modus te vinden, zijn er enkele problemen met deze methode. Onze nauwkeurigheid is slechts zo goed als onze grafiek, en we zullen waarschijnlijk moeten inschatten. Ook kunnen er problemen zijn bij het in kaart brengen van onze functie.

Een alternatieve methode die geen grafieken vereist is om calculus te gebruiken. De methode die we zullen gebruiken is als volgt:

1. Begin met de kansdichtheidsfunctie f (X) voor onze distributie. 
2. Bereken de eerste en tweede afgeleide van deze functie: f '(X) en f"(X)
3. Stel deze eerste afgeleide gelijk aan nul f '(X) = 0.
4. Oplossen voor X.
5. Sluit de waarde (n) van de vorige stap aan op de tweede afgeleide en evalueer. Als het resultaat negatief is, hebben we een lokaal maximum op de waarde x.
6. Evalueer onze functie f (X) op alle punten X van de vorige stap. 
7. Evalueer de kansdichtheidsfunctie op alle eindpunten van de ondersteuning. Dus als de functie domein heeft gegeven door het gesloten interval [a, b], evalueer dan de functie op de eindpunten een en b.
8. De grootste waarde in stap 6 en 7 is het absolute maximum van de functie. De x-waarde waar dit maximum voorkomt, is de distributiemodus.

Modus van de Chi-Square-verdeling

Nu gaan we door de bovenstaande stappen om de modus van de chikwadraatverdeling met te berekenen r graden van vrijheid. We beginnen met de kansdichtheidsfunctie f(X) die in de afbeelding in dit artikel wordt weergegeven.

f (X) = K X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Hier K is een constante met de gamma-functie en een macht van 2. We hoeven de bijzonderheden niet te weten (we kunnen hiervoor echter naar de formule in de afbeelding verwijzen).

De eerste afgeleide van deze functie wordt gegeven met behulp van de productregel en de kettingregel:

f '( X ) = K (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

We stellen deze afgeleide in op nul en factoreren de uitdrukking aan de rechterkant:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)X^-1 - 1/2]

Sinds de constante K, de exponentiële functie en X^{r / 2-1}  zijn allemaal nul, we kunnen beide kanten van de vergelijking delen door deze uitdrukkingen. We hebben dan:

0 = (r / 2 - 1)X^-1 - 1/2

Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 2:

0 = (r - 2)X^-1 - 1

Dus 1 = (r - 2)X^-1 en we sluiten af ​​met hebben x = r - 2. Dit is het punt langs de horizontale as waar de modus plaatsvindt. Het geeft de X waarde van de piek van onze chikwadraatverdeling.

Hoe een buigpunt te vinden met Calculus

Een ander kenmerk van een curve is de manier waarop deze kromt. Delen van een curve kunnen concaaf omhoog zijn, zoals een hoofdletter U. Curves kunnen ook concaaf omlaag zijn en de vorm hebben van een kruisingsymbool ∩. Waar de curve van concaaf naar concaaf omhoog verandert, of omgekeerd, hebben we een buigpunt.

De tweede afgeleide van een functie detecteert de concaafheid van de grafiek van de functie. Als de tweede afgeleide positief is, is de curve concaaf omhoog. Als de tweede afgeleide negatief is, is de curve concaaf naar beneden. Wanneer de tweede afgeleide gelijk is aan nul en de grafiek van de functie concaafheid verandert, hebben we een buigpunt.

Om de buigpunten van een grafiek te vinden, doen we:

1. Bereken de tweede afgeleide van onze functie f "(X).
2. Stel deze tweede afgeleide in op nul.
3. Los de vergelijking uit de vorige stap op voor X.

Buigpunten voor de Chi-kwadraatverdeling

Nu zien we hoe we de bovenstaande stappen voor de chikwadraatverdeling kunnen doorlopen. We beginnen met differentiëren. Uit het bovenstaande werk zagen we dat de eerste afgeleide voor onze functie is:

f '(X) = K (r / 2 - 1) X^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

We differentiëren opnieuw en gebruiken de productregel twee keer. Wij hebben:

f"( X ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) X^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) X^{r / 2-2}e^{-x / 2}

We stellen dit gelijk aan nul en delen beide kanten door Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3} - (1/2) (r / 2 - 1)X^{r / 2-2} + (1/ 4) X^{r / 2-1} - (1/2) (r/ 2 - 1) X^{r / 2-2}

Door soortgelijke termen te combineren hebben we:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3} - (r / 2 - 1)X^{r / 2-2} + (1/ 4) X^{r / 2-1}

Vermenigvuldig beide zijden met 4X^{3 - r / 2}, dit geeft ons:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)X + X^2.

De kwadratische formule kan nu worden gebruikt om op te lossen X.

X = [(2r - 4)+/ - [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4) ]^1/2] / 2

We breiden de voorwaarden uit die worden gebruikt voor de 1/2 macht en zien het volgende:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Dit betekent dat:

X = [(2r - 4)+/ - [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Hieruit zien we dat er twee buigpunten zijn. Bovendien zijn deze punten symmetrisch ten opzichte van de modus van de verdeling omdat (r - 2) zich halverwege tussen de twee buigpunten bevindt.

Conclusie

We zien hoe beide functies verband houden met het aantal vrijheidsgraden. We kunnen deze informatie gebruiken om te helpen bij het schetsen van een chikwadraatverdeling. We kunnen deze verdeling ook vergelijken met andere, zoals de normale verdeling. We kunnen zien dat de buigpunten voor een chikwadraatverdeling op verschillende plaatsen voorkomen dan de buigpunten voor de normale verdeling.