Inleiding tot vectorwiskunde

Dit is een basis, hoewel hopelijk vrij uitgebreide, introductie tot het werken met vectoren. Vectoren manifesteren op verschillende manieren, van verplaatsing, snelheid en versnelling tot krachten en velden. Dit artikel is gewijd aan de wiskunde van vectoren; hun toepassing in specifieke situaties zal elders worden behandeld.

Vectoren en Scalars

EEN vectorgrootheid, of vector, biedt informatie over niet alleen de grootte, maar ook de richting van de hoeveelheid. Bij het geven van aanwijzingen aan een huis, is het niet voldoende om te zeggen dat het op 10 mijl afstand ligt, maar de richting van die 10 mijl moet ook worden verstrekt voordat de informatie nuttig kan zijn. Variabelen die vectoren zijn, worden aangegeven met een vetgedrukte variabele, hoewel het gebruikelijk is om vectoren met kleine pijlen boven de variabele te zien.

Net zoals we niet zeggen dat het andere huis -10 mijl afstand is, is de grootte van een vector altijd een positief getal, of liever de absolute waarde van de "lengte" van de vector (hoewel de hoeveelheid mogelijk geen lengte is, het kan een snelheid, versnelling, kracht, etc. zijn) Een negatief voor een vector duidt niet op een verandering in de grootte, maar eerder in de richting van de vector.

In de bovenstaande voorbeelden is afstand de scalaire hoeveelheid (10 mijl) maar verplaatsing is de vectorhoeveelheid (10 mijl naar het noordoosten). Evenzo is snelheid een scalaire grootheid, terwijl snelheid een vectorgrootheid is.

EEN eenheid Vector is een vector met een grootte van één. Een vector die een eenheidsvector vertegenwoordigt, is meestal ook vetgedrukt, hoewel het een karaat heeft (^) erboven om de eenheidskarakter van de variabele aan te geven. De eenheidsvector X, wanneer geschreven met een karaat, wordt over het algemeen gelezen als "x-hat" omdat de karaat eruit ziet als een hoed op de variabele.

De nul vector, of nul vector, is een vector met een grootte van nul. Het is geschreven als 0 in dit artikel.

Vector componenten

Vectoren zijn over het algemeen georiënteerd op een coördinatensysteem, waarvan de meest populaire het tweedimensionale Cartesiaanse vlak is. Het Cartesiaanse vlak heeft een horizontale as met het label x en een verticale as met het label y. Sommige geavanceerde toepassingen van vectoren in de fysica vereisen het gebruik van een driedimensionale ruimte, waarin de assen x, y en z zijn. Dit artikel zal voornamelijk het tweedimensionale systeem behandelen, hoewel de concepten zonder al te veel moeite met enige zorg kunnen worden uitgebreid tot drie dimensies.

Vectoren in coördinatenstelsels met meerdere dimensies kunnen worden onderverdeeld in hun componentvectoren. In het tweedimensionale geval resulteert dit in een x-component en een y-component. Wanneer een vector in zijn componenten wordt opgesplitst, is de vector een som van de componenten:

F = F_X + F_Y

thetaF_XF_YF

F_X / F = cos theta en F_Y / F = zonde thetawat ons geeft
F_X = F cos theta en F_Y = F zonde theta

Merk op dat de getallen hier de grootte van de vectoren zijn. We kennen de richting van de componenten, maar we proberen hun grootte te vinden, dus we verwijderen de directionele informatie en voeren deze scalaire berekeningen uit om de grootte te achterhalen. Verdere toepassing van trigonometrie kan worden gebruikt om andere relaties (zoals de raaklijn) te vinden die verband houden met sommige van deze hoeveelheden, maar ik denk dat dat genoeg is voor nu.

Jarenlang is scalaire wiskunde de enige wiskunde die een student leert. Als u 5 mijl naar het noorden en 5 mijl naar het oosten reist, hebt u 10 mijl afgelegd. Het toevoegen van scalaire hoeveelheden negeert alle informatie over de aanwijzingen.

Vectoren worden enigszins anders gemanipuleerd. Bij het manipuleren moet altijd rekening worden gehouden met de richting.

Componenten toevoegen

Wanneer u twee vectoren toevoegt, is het alsof u de vectoren hebt genomen en ze van begin tot eind hebt geplaatst en een nieuwe vector hebt gemaakt die van het beginpunt naar het eindpunt loopt. Als de vectoren dezelfde richting hebben, betekent dit gewoon het toevoegen van de magnitudes, maar als ze verschillende richtingen hebben, kan het complexer worden.