Hoe de normale benadering van een binomiale verdeling te gebruiken

De binomiale verdeling omvat een discrete willekeurige variabele. Kansen in een binomiale instelling kunnen op een eenvoudige manier worden berekend met behulp van de formule voor een binomiale coëfficiënt. Hoewel dit in theorie een eenvoudige berekening is, kan het in de praktijk behoorlijk vervelend of zelfs rekenkundig onmogelijk worden om binomiale kansen te berekenen. Deze problemen kunnen worden omzeild door in plaats daarvan een normale verdeling te gebruiken om een ​​binomiale verdeling te benaderen. We zullen zien hoe we dit kunnen doen door de stappen van een berekening te doorlopen.

Stappen voor het gebruik van de normale benadering

Eerst moeten we bepalen of het passend is om de normale benadering te gebruiken. Niet elke binomiale verdeling is hetzelfde. Sommige vertonen voldoende scheefstand zodat we geen normale benadering kunnen gebruiken. Om te controleren of de normale benadering moet worden gebruikt, moeten we kijken naar de waarde van p, wat de waarschijnlijkheid van succes is, en n, dat is het aantal observaties van onze binomiale variabele.

Om de normale benadering te gebruiken, beschouwen we beide np en n(1 - p ). Als beide getallen groter zijn dan of gelijk zijn aan 10, zijn we gerechtvaardigd om de normale benadering te gebruiken. Dit is een algemene vuistregel en meestal zijn de waarden groter np en n(1 - p ), des te beter is de benadering.

Vergelijking tussen binomiaal en normaal

We zullen een exacte binomiale waarschijnlijkheid vergelijken met die verkregen door een normale benadering. We beschouwen het gooien van 20 munten en willen de kans weten dat vijf munten of minder koppen waren. Als X is het aantal koppen, dan willen we de waarde vinden:

P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5).

Het gebruik van de binomiale formule voor elk van deze zes kansen toont ons dat de kans 2,0695% is. We zullen nu zien hoe dicht onze normale benadering deze waarde zal benaderen.

Als we de voorwaarden controleren, zien we dat beide np en np(1 - p) zijn gelijk aan 10. Dit laat zien dat we in dit geval de normale benadering kunnen gebruiken. We zullen een normale verdeling gebruiken met gemiddelde van np = 20 (0,5) = 10 en een standaardafwijking van (20 (0,5) (0,5))^0.5 = 2.236.

Om de waarschijnlijkheid dat te bepalen X is kleiner dan of gelijk aan 5 moeten we vinden z-score voor 5 in de normale verdeling die we gebruiken. Dus z = (5 - 10) /2.236 = -2.236. Door een tabel van te raadplegen z-scores zien we dat de kans dat z is kleiner dan of gelijk aan -2.236 is 1,267%. Dit verschilt van de werkelijke waarschijnlijkheid, maar ligt binnen 0,8%.

Continuïteit Correctiefactor

Om onze schatting te verbeteren, is het passend om een ​​continuïteitscorrectiefactor in te voeren. Dit wordt gebruikt omdat een normale verdeling continu is, terwijl de binomiale verdeling discreet is. Voor een binomiale willekeurige variabele, een kanshistogram voor X = 5 bevat een balk van 4,5 tot 5,5 en is gecentreerd op 5.

Dit betekent dat voor het bovenstaande voorbeeld de waarschijnlijkheid dat X is kleiner dan of gelijk aan 5 voor een binomiale variabele moet worden geschat aan de hand van de waarschijnlijkheid dat X is kleiner dan of gelijk aan 5,5 voor een continue normale variabele. Dus z = (5,5 - 10) /2,236 = -2,013. De kans dat z