Hoe 'If and Only If' te gebruiken in de wiskunde

Bij het lezen van statistieken en wiskunde is een zin die regelmatig opduikt: "als en alleen als." Deze zin verschijnt met name in verklaringen van wiskundige stellingen of bewijzen. Maar wat betekent deze uitspraak precies??

Wat doet als en alleen als gemiddeld in de wiskunde?

Om te begrijpen "als en alleen als", moeten we eerst weten wat wordt bedoeld met een voorwaardelijke verklaring. Een voorwaardelijke verklaring is er een die wordt gevormd uit twee andere verklaringen, die we zullen aanduiden met P en Q. Om een ​​voorwaardelijke verklaring te vormen, zouden we kunnen zeggen "als P dan Q."

Hierna volgen voorbeelden van dit soort beweringen:

• Als het buiten regent, neem ik mijn paraplu mee op mijn wandeling.
• Als je hard studeert, verdien je een A.
• Als n is deelbaar door 4, dan n is deelbaar door 2.

Converse en voorwaarden

Drie andere verklaringen hebben betrekking op een voorwaardelijke verklaring. Dit worden het omgekeerde, het omgekeerde en het contrapositief genoemd. We vormen deze uitspraken door de volgorde van P en Q van de oorspronkelijke voorwaardelijke volgorde te wijzigen en het woord 'niet' in te voegen voor de inverse en contrapositieve.

We hoeven alleen het omgekeerde hier te overwegen. Deze verklaring wordt verkregen uit het origineel door te zeggen "als Q dan P." Stel dat we beginnen met de voorwaardelijke "als het buiten regent, neem ik mijn paraplu mee op mijn wandeling." Het omgekeerde van deze verklaring is "als ik neem mijn paraplu mee op mijn wandeling, dan regent het buiten. "

We hoeven dit voorbeeld alleen maar te overwegen om te beseffen dat de oorspronkelijke voorwaardelijke logica niet logisch hetzelfde is als zijn omgekeerde. De verwarring tussen deze twee formulieren staat bekend als een omgekeerde fout. Je kunt een paraplu meenemen tijdens een wandeling, ook al regent het misschien niet buiten.

Voor een ander voorbeeld beschouwen we de voorwaardelijke "Als een getal deelbaar is door 4 dan is het deelbaar door 2." Deze bewering is duidelijk waar. Het omgekeerde van deze stelling: "Als een getal deelbaar is door 2, dan is het deelbaar door 4" is onwaar. We hoeven alleen maar naar een getal zoals 6 te kijken. Hoewel 2 dit getal verdeelt, doet 4 dat niet. Hoewel de oorspronkelijke bewering waar is, is het omgekeerde niet.

Biconditional

Dit brengt ons bij een biconditionele uitspraak, die ook bekend staat als een "als en alleen als" -verklaring. Bepaalde voorwaardelijke uitspraken hebben ook conversies die waar zijn. In dit geval kunnen we een zogenaamde biconditionele verklaring vormen. Een biconditionele verklaring heeft de vorm:

"Als P dan Q, en als Q dan P."

Omdat deze constructie enigszins onhandig is, vooral wanneer P en Q hun eigen logische verklaringen zijn, vereenvoudigen we de verklaring van een biconditional door de uitdrukking "als en alleen als" te gebruiken. In plaats van te zeggen "als P dan Q, en als Q dan P" zeggen we in plaats daarvan "P als en alleen als Q." Deze constructie elimineert enige overbodigheid.

Statistieken voorbeeld

Voor een voorbeeld van de uitdrukking "als en alleen als" dat betrekking heeft op statistieken, hoeft u niet verder te kijken dan een feit betreffende de standaarddeviatie van de steekproef. De standaarddeviatie van de steekproef van een gegevensset is gelijk aan nul als en alleen als alle gegevenswaarden identiek zijn.

We breken deze biconditionele uitspraak in een voorwaardelijke en het omgekeerde. Dan zien we dat deze verklaring het volgende betekent:

• Als de standaarddeviatie nul is, zijn alle gegevenswaarden identiek.
• Als alle gegevenswaarden identiek zijn, is de standaardafwijking gelijk aan nul.

Bewijs van Biconditional

Als we proberen een biconditioneel te bewijzen, dan splitsen we het meestal op. Dit maakt ons bewijs uit twee delen. Het ene deel dat we bewijzen is "als P dan Q." Het andere deel van het bewijs dat we nodig hebben is "als Q dan P."

Noodzakelijke en voldoende voorwaarden

Biconditionele verklaringen houden verband met voorwaarden die zowel noodzakelijk als voldoende zijn. Overweeg de uitspraak "als vandaag Pasen is, dan is morgen maandag." Vandaag is Pasen voldoende om morgen maandag te zijn, maar het is niet nodig. Vandaag zou elke zondag kunnen zijn, behalve Pasen, en morgen zou het nog steeds maandag zijn.

Afkorting

De uitdrukking "als en alleen als" wordt vaak genoeg gebruikt in wiskundig schrift dat het zijn eigen afkorting heeft. Soms wordt de biconditional in de bewering van de uitdrukking "als en alleen als" ingekort tot eenvoudig "iff". Dus wordt de bewering "P als en alleen als Q" "P iff Q."