Hoe de complementregel in waarschijnlijkheid te bewijzen

Verschillende stellingen in waarschijnlijkheid kunnen worden afgeleid uit de axioma's van waarschijnlijkheid. Deze stellingen kunnen worden toegepast om kansen te berekenen die we misschien willen weten. Een dergelijk resultaat staat bekend als de complementregel. Met deze verklaring kunnen we de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis berekenen EEN door de waarschijnlijkheid van het complement te kennen EEN^C. Na het vermelden van de complementregel zullen we zien hoe dit resultaat kan worden bewezen.

De complementregel

Het complement van het evenement EEN wordt aangegeven door EEN^C. Het complement van EEN is de verzameling van alle elementen in de universele verzameling, of monsterruimte S, die geen elementen van de verzameling zijn EEN.

De complementregel wordt uitgedrukt door de volgende vergelijking:

P (EEN^C) = 1 - P (EEN)

Hier zien we dat de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis en de waarschijnlijkheid van zijn complement moet oplopen tot 1.

Bewijs van de complementregel

Om de complementregel te bewijzen, beginnen we met de axioma's van waarschijnlijkheid. Deze verklaringen worden verondersteld zonder bewijs. We zullen zien dat ze systematisch kunnen worden gebruikt om onze verklaring met betrekking tot de waarschijnlijkheid van het complement van een evenement te bewijzen.

• Het eerste axioma van waarschijnlijkheid is dat de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis een niet-negatief reëel getal is.
• Het tweede axioma van waarschijnlijkheid is dat de waarschijnlijkheid van de gehele monsterruimte S is een. Symbolisch schrijven we P (S) = 1.
• Het derde axioma van waarschijnlijkheid stelt dat als EEN en B zijn wederzijds exclusief (wat betekent dat ze een lege kruising hebben), dan vermelden we de waarschijnlijkheid van de unie van deze gebeurtenissen als P (EEN U B ) = P (EEN) + P (B).

Voor de complementregel hoeven we niet het eerste axioma in de bovenstaande lijst te gebruiken.

Om onze verklaring te bewijzen, beschouwen we de gebeurtenissen EENen EEN^C. Uit de verzamelingenleer weten we dat deze twee sets een leeg snijpunt hebben. Dit komt omdat een element niet tegelijkertijd in beide kan voorkomen EEN en niet erin EEN. Omdat er een lege kruising is, sluiten deze twee sets elkaar uit.

De vereniging van de twee evenementen EEN en EEN^C zijn ook belangrijk. Deze vormen uitputtende gebeurtenissen, wat betekent dat de vereniging van deze gebeurtenissen de gehele monsterruimte is S.

Deze feiten, gecombineerd met de axioma's, geven ons de vergelijking

1 = P (S) = P (EEN U EEN^C) = P (EEN) + P (EEN^C) .

De eerste gelijkheid is te wijten aan het tweede waarschijnlijkheidsaxioma. De tweede gelijkheid is omdat de gebeurtenissen EEN en EEN^C zijn uitputtend. De derde gelijkheid is vanwege het derde waarschijnlijkheidsaxioma.

De bovenstaande vergelijking kan worden herschikt in de vorm die we hierboven hebben vermeld. Het enige dat we moeten doen is de waarschijnlijkheid van aftrekken EEN van beide kanten van de vergelijking. Dus

1 = P (EEN) + P (EEN^C)

wordt de vergelijking

P (EEN^C) = 1 - P (EEN).

Natuurlijk kunnen we de regel ook uitdrukken door te stellen dat:

P (EEN) = 1 - P (EEN^C).

Alle drie deze vergelijkingen zijn gelijkwaardige manieren om hetzelfde te zeggen. We zien uit dit bewijs hoe slechts twee axioma's en enkele verzamelingenleer ons een lange weg helpen om nieuwe uitspraken over waarschijnlijkheid te bewijzen.