Hoe de wetten van De Morgan te bewijzen

In wiskundige statistiek en waarschijnlijkheid is het belangrijk om bekend te zijn met verzamelingenleer. De elementaire bewerkingen van de verzamelingenleer hebben verband met bepaalde regels bij de berekening van waarschijnlijkheden. De interacties van deze elementaire setoperaties van unie, kruising en het complement worden verklaard door twee verklaringen die bekend staan ​​als De Morgan's Laws. Na het verklaren van deze wetten zullen we zien hoe we ze kunnen bewijzen.

Verklaring van de wetten van De Morgan

De Morgan's Laws hebben betrekking op de interactie van de unie, kruising en complement. Herhaal dat:

• Het snijpunt van de sets EEN en B bestaat uit alle elementen die beide gemeen hebben EEN en B. Het kruispunt wordt aangegeven met EEN ∩ B.
• De vereniging van de sets EEN en B bestaat uit alle elementen die in beide EEN of B, inclusief de elementen in beide sets. Het kruispunt wordt aangegeven met A U B.
• Het complement van de set EEN bestaat uit alle elementen die geen elementen zijn van EEN. Dit complement wordt aangeduid met A^C.

Nu we deze elementaire operaties hebben teruggeroepen, zullen we de verklaring van De Morgan's Laws zien. Voor elk paar sets EEN en B

1. (EEN ∩ B)^C = EEN^C U B^C.
2. (EEN U B)^C = EEN^C ∩ B^C.

Overzicht van bewijsstrategie

Voordat we in het bewijs duiken, zullen we nadenken over hoe we de bovenstaande verklaringen kunnen bewijzen. We proberen aan te tonen dat twee sets gelijk zijn aan elkaar. De manier waarop dit wiskundig wordt gedaan, is via de procedure van dubbele opname. De hoofdlijnen van deze bewijsmethode zijn:

1. Laat zien dat de set aan de linkerkant van ons gelijkteken een subset is van de set aan de rechterkant.
2. Herhaal het proces in de tegenovergestelde richting en laat zien dat de set rechts een subset is van de set links.
3. Met deze twee stappen kunnen we zeggen dat de sets in feite gelijk zijn aan elkaar. Ze bestaan ​​uit allemaal dezelfde elementen.

Bewijs van een van de wetten

We zullen zien hoe we de eerste van De Morgan's Wetten hierboven kunnen bewijzen. We beginnen met aan te tonen dat (EEN ∩ B)^C is een subset van EEN^C U B^C.

1. Stel dat eerst X is een element van (EEN ∩ B)^C.
2. Dit betekent dat X is geen onderdeel van (EEN ∩ B).
3. Omdat het snijpunt de verzameling van alle elementen is die beide gemeen hebben EEN en B, de vorige stap betekent dat X kan geen element van beide zijn EEN en B.
4. Dit betekent dat X dit moet een element zijn van ten minste een van de sets EEN^C of B^C.
5. Dit betekent per definitie dat X is een element van EEN^C U B^C
6. We hebben de gewenste subset-opname getoond.

Ons bewijs is nu halverwege. Om het te voltooien, tonen we de tegenovergestelde subset-opname. Meer specifiek moeten we laten zien EEN^C U B^C is een subset van (EEN ∩ B)^C.

1. We beginnen met een element X in de set EEN^C U B^C.
2. Dit betekent dat X is een element van EEN^C of dat X is een element van B^C.
3. Dus X is geen element van ten minste een van de sets EEN of B.
4. Zo X kan geen element van beide zijn EEN en B. Dit betekent dat X is een element van (EEN ∩ B)^C.
5. We hebben de gewenste subset-opname getoond.

Bewijs van de andere wet

Het bewijs van de andere verklaring lijkt sterk op het bewijs dat we hierboven hebben uiteengezet. Het enige dat moet worden gedaan, is een subset-opname van sets aan beide zijden van het is-gelijk-teken te tonen.