Hoe de foutmarge te berekenen

Vele malen politieke peilingen en andere toepassingen van statistieken vermelden hun resultaten met een foutmarge. Het is niet ongewoon om te zien dat een opiniepeiling stelt dat er ondersteuning is voor een probleem of kandidaat bij een bepaald percentage van de respondenten, plus en min een bepaald percentage. Het is deze plus- en min-term die de foutmarge is. Maar hoe wordt de foutenmarge berekend? Voor een eenvoudige willekeurige steekproef van een voldoende grote populatie, is de marge of fout eigenlijk alleen een herformulering van de grootte van de steekproef en het gebruikte betrouwbaarheidsniveau.

De formule voor de foutmarge

In wat volgt zullen we de formule gebruiken voor de foutmarge. We zullen het ergste geval plannen, waarin we geen idee hebben wat het werkelijke niveau van ondersteuning is in onze enquête. Als we enig idee hadden over dit aantal, mogelijk via eerdere peilingsgegevens, zouden we een kleinere foutenmarge hebben.

De formule die we zullen gebruiken is: E = z_{α / 2}/ (2√ n)

Het niveau van vertrouwen

Het eerste stuk informatie dat we nodig hebben om de foutenmarge te berekenen, is om te bepalen welk niveau van vertrouwen we wensen. Dit aantal kan elk percentage lager dan 100% zijn, maar de meest voorkomende betrouwbaarheidsniveaus zijn 90%, 95% en 99%. Van deze drie wordt het 95% -niveau het meest gebruikt.

Als we het betrouwbaarheidsniveau van één aftrekken, verkrijgen we de waarde van alfa, geschreven als α, die nodig is voor de formule.

De kritische waarde

De volgende stap bij het berekenen van de marge of fout is het vinden van de juiste kritische waarde. Dit wordt aangegeven met de term z_{α / 2} in de bovenstaande formule. Omdat we zijn uitgegaan van een eenvoudige willekeurige steekproef van een grote populatie, kunnen we de standaard normale verdeling van gebruiken z-scores.

Stel dat we met een betrouwbaarheidsniveau van 95% werken. We willen het opzoeken z-partituur z *waarvoor het gebied tussen -z * en z * 0,95 is. Uit de tabel zien we dat deze kritische waarde 1,96 is.

We hadden de kritische waarde ook op de volgende manier kunnen vinden. Als we denken in termen van α / 2, aangezien α = 1 - 0.95 = 0.05, zien we dat α / 2 = 0.025. We zoeken nu in de tabel om de te vinden z-scoor met een gebied van 0,025 rechts ervan. We zouden eindigen met dezelfde kritische waarde van 1,96.

Andere niveaus van vertrouwen zullen ons verschillende kritische waarden geven. Hoe groter het niveau van vertrouwen, hoe hoger de kritische waarde. De kritische waarde voor een betrouwbaarheidsniveau van 90%, met een bijbehorende α-waarde van 0,10, is 1,64. De kritische waarde voor een betrouwbaarheidsniveau van 99%, met een bijbehorende α-waarde van 0,01, is 2,54.

Steekproefgrootte

Het enige andere getal dat we nodig hebben om de formule te gebruiken om de foutmarge te berekenen, is de steekproefgrootte, aangegeven met n in de formule. We nemen dan de vierkantswortel van dit getal.

Vanwege de locatie van dit nummer in de bovenstaande formule, des te groter de steekproefgrootte die we gebruiken, des te kleiner de foutmarge. Grote monsters hebben daarom de voorkeur boven kleinere. Omdat statistische steekproeven tijd en geld vereisen, zijn er echter beperkingen aan hoeveel we de steekproefomvang kunnen vergroten. De aanwezigheid van de vierkantswortel in de formule betekent dat het verviervoudigen van de steekproefgrootte slechts de helft van de foutenmarge zal zijn.

Enkele voorbeelden

Laten we een paar voorbeelden bekijken om de formule te begrijpen.

1. Wat is de foutmarge voor een eenvoudige steekproef van 900 mensen met een betrouwbaarheidsniveau van 95%?
2. Bij gebruik van de tabel hebben we een kritische waarde van 1,96, en dus is de foutmarge 1,96 / (2 √ 900 = 0,03267, of ongeveer 3,3%.
3. Wat is de foutmarge voor een eenvoudige steekproef van 1600 mensen met een betrouwbaarheidsniveau van 95%?
4. Op hetzelfde betrouwbaarheidsniveau als het eerste voorbeeld, geeft het vergroten van de steekproefomvang tot 1600 ons een foutmarge van 0,0245 of ongeveer 2,5%.