Hoe de verwachte waarde te berekenen

Je bent op een carnaval en je ziet een spel. Voor $ 2 gooi je een standaard zeszijdige dobbelsteen. Als het getoonde getal een zes is, win je $ 10, anders win je niets. Als je geld probeert te verdienen, is het dan in jouw belang om het spel te spelen? Om een ​​vraag als deze te beantwoorden, hebben we het concept van verwachte waarde nodig.

De verwachte waarde kan echt worden gezien als het gemiddelde van een willekeurige variabele. Dit betekent dat als u steeds een waarschijnlijkheidsexperiment uitvoert en de resultaten bijhoudt, de verwachte waarde het gemiddelde is van alle verkregen waarden. De verwachte waarde is wat je zou moeten verwachten in de lange termijn van veel proeven van een kansspel.

Hoe de verwachte waarde te berekenen

Het hierboven genoemde carnavalspel is een voorbeeld van een discrete willekeurige variabele. De variabele is niet continu en elk resultaat komt naar ons toe in een aantal dat kan worden gescheiden van de anderen. Om de verwachte waarde van een game met uitkomsten te vinden X₁, X₂,... , X_n met waarschijnlijkheden p₁, p₂,... , p_n, berekenen:

X₁p₁ + X₂p₂ +... + X_np_n.

Voor de bovenstaande game heb je een kans van 5/6 om niets te winnen. De waarde van deze uitkomst is -2 omdat je $ 2 hebt uitgegeven om het spel te spelen. Een zes heeft een 1/6 kans om te verschijnen, en deze waarde heeft een uitkomst van 8. Waarom 8 en niet 10? We moeten opnieuw rekening houden met de $ 2 die we hebben betaald om te spelen, en 10 - 2 = 8.

Steek nu deze waarden en kansen in de verwachte waardeformule en eindig met: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Dit betekent dat je op de lange termijn elke keer dat je dit spel speelt, gemiddeld ongeveer 33 cent zou verliezen. Ja, je wint soms. Maar je zult vaker verliezen.

The Carnival Game Revisited

Stel nu dat het carnavalsspel enigszins is aangepast. Voor hetzelfde inschrijfgeld van $ 2, als het weergegeven getal een zes is, win je $ 12, anders win je niets. De verwachte waarde van deze game is -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Op de lange termijn verlies je geen geld, maar win je geen geld. Verwacht geen spel met deze nummers op je plaatselijke carnaval. Als je op de lange termijn geen geld verliest, verdient het carnaval niets.

Verwachte waarde in het casino

Ga nu naar het casino. Op dezelfde manier als voorheen kunnen we de verwachte waarde van kansspelen zoals roulette berekenen. In de VS heeft een roulettewiel 38 genummerde slots van 1 tot 36, 0 en 00. De helft van de 1-36 is rood, de helft is zwart. Zowel 0 als 00 zijn groen. Een bal landt willekeurig in een van de slots en weddenschappen worden geplaatst op waar de bal zal landen.

Een van de eenvoudigste inzetten is om op rood in te zetten. Als je hier $ 1 inzet en de bal op een rood nummer in het wiel belandt, win je $ 2. Als de bal op een zwarte of groene ruimte in het wiel landt, win je niets. Wat is de verwachte waarde voor een weddenschap zoals deze? Omdat er 18 rode spaties zijn, is er een kans van 18/38 om te winnen, met een netto winst van $ 1. Er is een kans van 20/38 dat u uw eerste inzet van $ 1 verliest. De verwachte waarde van deze weddenschap in roulette is 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, wat ongeveer 5,3 cent is. Hier heeft het huis een kleine voorsprong (zoals bij alle casinospellen).

Verwachte waarde en de loterij

Als een ander voorbeeld, overweeg een loterij. Hoewel miljoenen kunnen worden gewonnen voor de prijs van een ticket van $ 1, laat de verwachte waarde van een loterijspel zien hoe oneerlijk het is opgebouwd. Stel dat u voor $ 1 zes nummers van 1 tot 48 kiest. De kans dat u alle zes nummers correct kiest, is 1 / 12.271.512. Als u $ 1 miljoen wint voor het correct krijgen van alle zes, wat is dan de verwachte waarde van deze loterij? De mogelijke waarden zijn - $ 1 voor het verliezen en $ 999.999 voor het winnen (opnieuw moeten we rekening houden met de kosten om te spelen en dit van de winst aftrekken). Dit geeft ons een verwachte waarde van:

(-1) (12.271.511 / 12.271.512) + (999.999) (1 / 12.271.512) = -.918

Dus als je de loterij steeds opnieuw zou spelen, verlies je op de lange termijn ongeveer 92 cent - bijna al je ticketprijs - elke keer dat je speelt.

Continue willekeurige variabelen

Alle bovenstaande voorbeelden kijken naar een discrete willekeurige variabele. Het is echter ook mogelijk om de verwachte waarde voor een continue willekeurige variabele te definiëren. Het enige dat we in dit geval moeten doen, is de sommatie in onze formule te vervangen door een integraal.

Op de lange termijn

Het is belangrijk om te onthouden dat de verwachte waarde het gemiddelde is na vele proeven van een willekeurig proces. Op de korte termijn kan het gemiddelde van een willekeurige variabele aanzienlijk verschillen van de verwachte waarde.