Hoe Powerball-kansen te berekenen

Powerball is een multistate loterij die behoorlijk populair is vanwege zijn jackpots van miljoenen dollars. Sommige van deze jackpots bereiken waarden van meer dan $ 100 miljoen. Een interessante zoektocht vanuit probabilistische zin is: "Hoe worden de kansen berekend op de kans om Powerball te winnen?"

De regels

Eerst zullen we de regels van Powerball onderzoeken zoals deze momenteel is geconfigureerd. Tijdens elke tekening worden twee trommels vol ballen grondig gemengd en willekeurig verdeeld. De eerste trommel bevat witte ballen genummerd van 1 tot 59. Vijf worden getrokken zonder vervanging van deze trommel. De tweede trommel heeft rode ballen die genummerd zijn van 1 tot 35. Een daarvan is getekend. Het doel is om zoveel mogelijk van deze nummers te matchen.

De prijzen

De volledige jackpot wordt gewonnen wanneer alle zes nummers geselecteerd door een speler perfect overeenkomen met de getrokken ballen. Er zijn prijzen met mindere waarden voor gedeeltelijke matching, voor een totaal van negen verschillende manieren om wat dollarbedrag te winnen van Powerball. Deze manieren om te winnen zijn:

• Als je alle vijf de witte ballen met elkaar combineert, wint de grote prijs de jackpot. De waarde hiervan is afhankelijk van hoe lang het geleden is dat iemand deze grote prijs heeft gewonnen.
• Het matchen van alle vijf witte ballen maar niet de rode bal wint $ 1.000.000.
• Het matchen van precies vier van de vijf witte ballen en de rode bal wint $ 10.000.
• Als u exact vier van de vijf witte ballen combineert, maar niet de rode, wint u $ 100.
• Als u exact drie van de vijf witte ballen en de rode bal combineert, wint u $ 100.
• Als u exact drie van de vijf witte ballen combineert, maar niet de rode, wint u $ 7.
• Als u precies twee van de vijf witte ballen en de rode bal combineert, wint u $ 7.
• Als u exact één van de vijf witte ballen en de rode bal combineert, wint u $ 4.
• Als je alleen de rode bal combineert, maar geen van de witte ballen wint $ 4.

We zullen kijken hoe we elk van deze kansen kunnen berekenen. Tijdens deze berekeningen is het belangrijk op te merken dat de volgorde van hoe de ballen uit de trommel komen niet belangrijk is. Het enige dat telt is de set ballen die worden getrokken. Om deze reden hebben onze berekeningen betrekking op combinaties en niet op permutaties.

Ook nuttig in elke onderstaande berekening is het totale aantal combinaties dat kan worden getrokken. We hebben vijf geselecteerd uit de 59 witte ballen, of gebruiken de notatie voor combinaties, C (59, 5) = 5.006.386 manieren om dit te laten gebeuren. Er zijn 35 manieren om de rode bal te selecteren, wat resulteert in 35 x 5.006.386 = 175.223.510 mogelijke selecties.

pot

Hoewel de jackpot van het matchen van alle zes ballen het moeilijkst te verkrijgen is, is het de eenvoudigste kans om te berekenen. Uit de veelheid van 175.223.510 mogelijke selecties is er precies één manier om de jackpot te winnen. De kans dat een bepaald ticket de jackpot wint, is dus 1 / 175.223.510.

Vijf witte ballen

Om $ 1.000.000 te winnen moeten we de vijf witte ballen matchen, maar niet de rode. Er is maar één manier om alle vijf te matchen. Er zijn 34 manieren om de rode bal niet te evenaren. Dus de kans om $ 1.000.000 te winnen is 34 / 175.223.510, of ongeveer 1 / 5.153.633.

Vier witte ballen en één rood

Voor een prijs van $ 10.000 moeten we overeenkomen met vier van de vijf witte ballen en de rode. Er zijn C (5,4) = 5 manieren om vier van de vijf te matchen. De vijfde bal moet een van de resterende 54 zijn die niet zijn getrokken, en dus zijn er C (54, 1) = 54 manieren om dit te laten gebeuren. Er is maar 1 manier om de rode bal te matchen. Dit betekent dat er 5 x 54 x 1 = 270 manieren zijn om exact vier witte ballen en de rode te matchen, met een kans van 270 / 175,223,510, of ongeveer 1 / 648.976.

Vier witte ballen en geen rood

Een manier om een ​​prijs van $ 100 te winnen, is door vier van de vijf witte ballen te matchen en niet met de rode. Net als in het vorige geval zijn er C (5,4) = 5 manieren om vier van de vijf te matchen. De vijfde bal moet een van de resterende 54 zijn die niet zijn getrokken, en dus zijn er C (54, 1) = 54 manieren om dit te laten gebeuren. Deze keer zijn er 34 manieren om de rode bal niet te evenaren. Dit betekent dat er 5 x 54 x 34 = 9180 manieren zijn om precies vier witte ballen te matchen, maar niet de rode, wat een kans geeft van 9180 / 175,223,510, of ongeveer 1 / 19,088.

Drie witte ballen en één rode

Een andere manier om een ​​prijs van $ 100 te winnen, is door exact drie van de vijf witte ballen te matchen en ook de rode te matchen. Er zijn C (5,3) = 10 manieren om drie van de vijf te matchen. De resterende witte ballen moeten een van de resterende 54 zijn die niet waren getrokken, en dus zijn er C (54, 2) = 1431 manieren om dit te laten gebeuren. Er is één manier om de rode bal te matchen. Dit betekent dat er 10 x 1431 x 1 = 14.310 manieren zijn om precies drie witte ballen en de rode te matchen, met een kans van 14.310 / 175.223.510, of ongeveer 1 / 12.245.

Drie witte ballen en geen rood

Een manier om een ​​prijs van $ 7 te winnen, is door exact drie van de vijf witte ballen te matchen en niet met de rode. Er zijn C (5,3) = 10 manieren om drie van de vijf te matchen. De resterende witte ballen moeten een van de resterende 54 zijn die niet waren getrokken, en dus zijn er C (54, 2) = 1431 manieren om dit te laten gebeuren. Deze keer zijn er 34 manieren om de rode bal niet te evenaren. Dit betekent dat er 10 x 1431 x 34 = 486.540 manieren zijn om precies drie witte ballen te matchen, maar niet de rode, wat een kans geeft van 486.540 / 175.223.510, of ongeveer 1/360.

Twee witte ballen en een rode

Een andere manier om een ​​prijs van $ 7 te winnen, is door exact twee van de vijf witte ballen te matchen en ook de rode te matchen. Er zijn C (5,2) = 10 manieren om twee van de vijf te matchen. De resterende witte ballen moeten een van de resterende 54 zijn die niet zijn getrokken, en dus zijn er C (54, 3) = 24.804 manieren om dit te laten gebeuren. Er is één manier om de rode bal te matchen. Dit betekent dat er 10 x 24.804 x 1 = 248.040 manieren zijn om precies twee witte ballen en de rode te matchen, met een kans van 248.040 / 175.223.510, of ongeveer 1/706.

Een witte bal en een rode

Een manier om een ​​prijs van $ 4 te winnen, is door exact een van de vijf witte ballen te matchen en ook met de rode. Er zijn C (5,4) = 5 manieren om een ​​van de vijf te matchen. De resterende witte ballen moeten een van de resterende 54 zijn die niet waren getrokken, en dus zijn er C (54, 4) = 316.251 manieren om dit te laten gebeuren. Er is één manier om de rode bal te matchen. Dit betekent dat er 5 x 316.251 x1 = 1.581.255 manieren zijn om precies één witte bal en de rode bal te matchen, met een kans van 1.581.255 / 175.223.510, of ongeveer 1/111.

Een rode bal

Een andere manier om een ​​prijs van $ 4 te winnen, is door geen van de vijf witte ballen te matchen, maar de rode. Er zijn 54 ballen die geen van de vijf geselecteerde zijn, en we hebben C (54, 5) = 3.162.510 manieren om dit te laten gebeuren. Er is één manier om de rode bal te matchen. Dit betekent dat er 3.162.510 manieren zijn om geen van de ballen te matchen behalve de rode, wat een waarschijnlijkheid geeft van 3.162.510 / 175.223.510, of ongeveer 1/55.

Deze zaak is enigszins contra-intuïtief. Er zijn 36 rode ballen, dus we kunnen denken dat de kans om een ​​van deze te matchen 1/36 zou zijn. Dit negeert echter de andere voorwaarden die door de witte ballen worden opgelegd. Veel combinaties met de juiste rode bal bevatten ook wedstrijden op sommige van de witte ballen.