Hoe Backgammon-kansen te berekenen

Backgammon is een spel waarbij twee standaard dobbelstenen worden gebruikt. De dobbelstenen die in dit spel worden gebruikt, zijn zeszijdige kubussen en de gezichten van een dobbelsteen hebben één, twee, drie, vier, vijf of zes stippen. Tijdens een beurt in backgammon mag een speler zijn schijven of trekkingen verplaatsen volgens de nummers op de dobbelstenen. De opgerolde nummers kunnen worden verdeeld over twee schijven, of ze kunnen worden opgeteld en worden gebruikt voor een enkele schijf. Wanneer een 4 en een 5 worden gegooid, heeft een speler bijvoorbeeld twee opties: hij mag één schijf vier spaties en nog eens vijf spaties verplaatsen, of een schijf kan in totaal negen spaties worden verplaatst..

Om strategieën in backgammon te formuleren, is het nuttig enkele basiskansen te kennen. Aangezien een speler een of twee dobbelstenen kan gebruiken om een bepaalde schijf te verplaatsen, zal elke berekening van waarschijnlijkheden hiermee rekening houden. Voor onze backgammon-kansen zullen we de vraag beantwoorden: "Als we twee dobbelstenen werpen, wat is dan de kans dat we het aantal gooien n als een som van twee dobbelstenen, of op ten minste een van de twee dobbelstenen? "

Berekening van de waarschijnlijkheden

Voor een enkele dobbelsteen die niet geladen is, is het even waarschijnlijk dat elke zijde met de voorkant naar boven landt. Een enkele matrijs vormt een uniforme monsterruimte. Er zijn in totaal zes uitkomsten, die overeenkomen met elk van de gehele getallen van 1 tot 6. Elk getal heeft dus een kans dat 1/6 voorkomt.

Als we twee dobbelstenen gooien, is elke dobbelsteen onafhankelijk van de andere. Als we de volgorde bijhouden van welk getal op elk van de dobbelstenen voorkomt, dan zijn er in totaal 6 x 6 = 36 even waarschijnlijke uitkomsten. Aldus is 36 de noemer voor al onze waarschijnlijkheden en heeft een bepaalde uitkomst van twee dobbelstenen een waarschijnlijkheid van 1/36.

Rollen ten minste één van een getal

De kans om twee dobbelstenen te gooien en ten minste één van een getal van 1 tot 6 te krijgen, is eenvoudig te berekenen. Als we de kans willen bepalen om ten minste één 2 met twee dobbelstenen te gooien, moeten we weten hoeveel van de 36 mogelijke uitkomsten ten minste één 2 bevatten. De manieren om dit te doen zijn:

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2 , 4), (2, 5), (2, 6)

Er zijn dus 11 manieren om ten minste één 2 met twee dobbelstenen te werpen, en de kans om ten minste één 2 met twee dobbelstenen te werpen is 11/36.

Er is niets bijzonders aan 2 in de voorgaande discussie. Voor elk gegeven nummer n van 1 tot 6:

Er zijn vijf manieren om precies één van dat nummer op de eerste dobbelsteen te gooien.
Er zijn vijf manieren om precies één van dat nummer op de tweede dobbelsteen te gooien.
Er is een manier om dat nummer op beide dobbelstenen te gooien.

Daarom zijn er 11 manieren om minstens één te rollen n van 1 tot 6 met twee dobbelstenen. De kans dat dit gebeurt is 11/36.

Een bepaalde som oprollen

Elk getal van twee tot 12 kan worden verkregen als de som van twee dobbelstenen. De kansen voor twee dobbelstenen zijn iets moeilijker te berekenen. Aangezien er verschillende manieren zijn om deze bedragen te bereiken, vormen ze geen uniforme voorbeeldruimte. Er zijn bijvoorbeeld drie manieren om een som van vier te rollen: (1, 3), (2, 2), (3, 1), maar slechts twee manieren om een som van 11 te rollen: (5, 6), ( 6, 5).

De kans om een som van een bepaald getal te rollen is als volgt:

De kans om een som van twee te gooien is 1/36.
De kans om een som van drie te gooien is 2/36.
De kans om een som van vier te gooien is 3/36.
De kans om een som van vijf te gooien is 4/36.
De kans om een som van zes te gooien is 5/36.
De kans om een som van zeven te gooien is 6/36.
De kans om een som van acht te gooien is 5/36.
De kans om een som van negen te gooien is 4/36.
De kans om een som van tien te gooien is 3/36.
De kans om een som van elf te gooien is 2/36.
De kans om een som van twaalf te gooien is 1/36.

Backgammon Waarschijnlijkheden

Eindelijk hebben we alles wat we nodig hebben om de kansen voor backgammon te berekenen. Het rollen van ten minste een van een getal sluit elkaar uit als het rollen van dit getal als een som van twee dobbelstenen. We kunnen dus de optelregel gebruiken om de waarschijnlijkheden bij elkaar op te tellen voor het verkrijgen van een getal van 2 tot 6.

De kans om bijvoorbeeld ten minste één 6 van de twee dobbelstenen te gooien is 11/36. Een 6 gooien als een som van twee dobbelstenen is 5/36. De kans dat je ten minste één 6 gooit of een zes gooit als een som van twee dobbelstenen is 11/36 + 5/36 = 16/36. Andere kansen kunnen op een vergelijkbare manier worden berekend.

Wetenschap