Verwachte waarde van een binomiale verdeling

Binomiale distributies zijn een belangrijke klasse van discrete kansverdelingen. Dit soort distributies zijn een reeks van n onafhankelijke Bernoulli-onderzoeken, die elk een constante waarschijnlijkheid hebben p van succes. Zoals bij elke kansverdeling willen we graag weten wat het gemiddelde of middelpunt is. Hiervoor vragen we echt: "Wat is de verwachte waarde van de binomiale verdeling?"

Intuïtie versus bewijs

Als we goed nadenken over een binomiale verdeling, is het niet moeilijk om te bepalen dat de verwachte waarde van dit type waarschijnlijkheidsverdeling np. Overweeg het volgende voor een paar snelle voorbeelden:

• Als we 100 munten gooien, en X is het aantal koppen, de verwachte waarde van X is 50 = (1/2) 100.
• Als we een multiple choice-test maken met 20 vragen en elke vraag vier keuzes heeft (waarvan er slechts één correct is), dan zou willekeurig gokken betekenen dat we alleen verwachten dat (1/4) 20 = 5 vragen correct zijn.

In beide voorbeelden zien we dat E [X] = n p. Twee gevallen zijn nauwelijks genoeg om tot een conclusie te komen. Hoewel intuïtie een goed hulpmiddel is om ons te leiden, is het niet voldoende om een ​​wiskundig argument te vormen en te bewijzen dat iets waar is. Hoe kunnen we definitief bewijzen dat de verwachte waarde van deze verdeling inderdaad is np?

Uit de definitie van verwachte waarde en de waarschijnlijkheidsmassafunctie voor de binomiale verdeling van n proeven van waarschijnlijkheid van succes p, we kunnen aantonen dat onze intuïtie overeenkomt met de vruchten van wiskundige strengheid. We moeten enigszins voorzichtig zijn in ons werk en behendig zijn in onze manipulaties van de binomiale coëfficiënt die wordt gegeven door de formule voor combinaties.

We beginnen met de formule:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) p^X(1-p)^{n - x}.

Omdat elke term van de sommatie wordt vermenigvuldigd met X, de waarde van de term die overeenkomt met x = 0 zal 0 zijn, en dus kunnen we eigenlijk schrijven:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

Door de faculteiten te manipuleren die betrokken zijn bij de uitdrukking voor C (n, x) we kunnen herschrijven

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Dit is waar omdat:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Het volgt dat:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

We houden rekening met de n en een p uit de bovenstaande uitdrukking: