Verwachte waarde voor Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck is een kansspel. Drie dobbelstenen worden gegooid, soms in een draadframe. Vanwege dit frame wordt deze game ook wel vogelkooi genoemd. Deze game wordt vaker gezien in carnaval dan in casino's. Vanwege het gebruik van willekeurige dobbelstenen kunnen we waarschijnlijkheid gebruiken om dit spel te analyseren. Meer specifiek kunnen we de verwachte waarde van dit spel berekenen.

inzetten

Er zijn verschillende soorten inzetten waarop kan worden ingezet. We zullen alleen rekening houden met de inzet op één nummer. Bij deze inzet kiezen we eenvoudig een specifiek nummer van één tot zes. Dan gooien we de dobbelstenen. Overweeg de mogelijkheden. Alle dobbelstenen, twee, één of geen, kunnen het aantal tonen dat we hebben gekozen.

Stel dat deze game het volgende betaalt:

• $ 3 als alle drie de dobbelstenen overeenkomen met het gekozen aantal.
• $ 2 als precies twee dobbelstenen overeenkomen met het gekozen aantal.
• $ 1 als exact één van de dobbelstenen overeenkomt met het gekozen nummer.

Als geen van de dobbelstenen overeenkomt met het gekozen aantal, moeten we $ 1 betalen.

Wat is de verwachte waarde van deze game? Met andere woorden, op de lange termijn zouden we gemiddeld verwachten dat we zouden winnen of verliezen als we dit spel herhaaldelijk zouden spelen?

Waarschijnlijkheid

Om de verwachte waarde van dit spel te vinden, moeten we vier kansen bepalen. Deze kansen komen overeen met de vier mogelijke uitkomsten. We merken op dat elke dobbelsteen onafhankelijk is van de anderen. Vanwege deze onafhankelijkheid gebruiken we de vermenigvuldigingsregel. Dit zal ons helpen bij het bepalen van het aantal resultaten.

We nemen ook aan dat de dobbelstenen eerlijk zijn. Elk van de zes zijden van elk van de drie dobbelstenen is even waarschijnlijk gegooid.

Er zijn 6 x 6 x 6 = 216 mogelijke resultaten van het gooien van deze drie dobbelstenen. Dit getal zal de noemer zijn voor al onze kansen.

Er is één manier om alle drie de dobbelstenen te matchen met het gekozen nummer.

Er zijn vijf manieren waarop een enkele dobbelsteen niet overeenkomt met ons gekozen aantal. Dit betekent dat er 5 x 5 x 5 = 125 manieren zijn waarop geen van onze dobbelstenen overeenkomt met het gekozen nummer.

Als we precies twee dobbelstenen overwegen, dan hebben we een dobbelsteen die niet overeenkomt.

• Er zijn 1 x 1 x 5 = 5 manieren waarop de eerste twee dobbelstenen overeenkomen met ons nummer en de derde verschillend.
• Er zijn 1 x 5 x 1 = 5 manieren om de eerste en derde dobbelsteen te matchen, waarbij de tweede anders is.
• Er zijn 5 x 1 x 1 = 5 manieren waarop de eerste dobbelsteen anders is en de tweede en derde overeenkomen.

Dit betekent dat er in totaal 15 manieren zijn om precies twee dobbelstenen te matchen.

We hebben nu het aantal manieren berekend om op één na alle resultaten te verkrijgen. Er zijn 216 rollen mogelijk. We hebben 1 + 15 + 125 = 141 van hen verantwoord. Dit betekent dat er nog 216 --141 = 75 over zijn.

We verzamelen alle bovenstaande informatie en zien:

• De kans dat ons nummer overeenkomt met alle drie de dobbelstenen is 1/216.
• De kans dat ons nummer exact overeenkomt met twee dobbelstenen is 15/216.
• De kans dat ons nummer exact overeenkomt met één dobbelsteen is 75/216.
• De kans dat ons nummer overeenkomt met geen van de dobbelstenen is 125/216.

Verwachte waarde

We zijn nu klaar om de verwachte waarde van deze situatie te berekenen. De formule voor de verwachte waarde vereist dat we de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis vermenigvuldigen met de netto winst of het verlies als de gebeurtenis zich voordoet. Vervolgens voegen we al deze producten bij elkaar.

De berekening van de verwachte waarde is als volgt:

(3) (1/216) + (2) (15/216) + (1) (75/216) + (- 1) (125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125 / 216 = -17/216

Dit is ongeveer - $ 0,08. De interpretatie is dat als we dit spel herhaaldelijk zouden spelen, we gemiddeld 8 cent zouden verliezen elke keer dat we speelden.