Definitie en gebruik van unie in de wiskunde

Een bewerking die vaak wordt gebruikt om nieuwe sets van oude te maken, wordt de unie genoemd. In algemeen gebruik betekent het woord unie een samenbrengen, zoals vakbonden in georganiseerde arbeid of de State of the Union-toespraak die de Amerikaanse president houdt voor een gezamenlijke zitting van het Congres. In wiskundige zin behoudt de combinatie van twee sets dit idee van samenbrengen. Meer precies, de combinatie van twee sets EEN en B is de verzameling van alle elementen X zoals dat X is een element van de set EEN of X is een element van de set B. Het woord dat aangeeft dat we een unie gebruiken, is het woord 'of'.

Het woord "of"

Wanneer we het woord 'of' gebruiken in dagelijkse gesprekken, realiseren we ons misschien niet dat dit woord op twee verschillende manieren wordt gebruikt. De weg wordt meestal afgeleid uit de context van het gesprek. Als je wordt gevraagd "Wil je de kip of de biefstuk?", Is de gebruikelijke implicatie dat je misschien het een of het ander hebt, maar niet beide. Vergelijk dit met de vraag: "Wilt u boter of zure room op uw gepofte aardappel?" Hier "of" wordt in de inclusieve zin gebruikt omdat u alleen boter, alleen zure room of zowel boter als zure room zou kunnen kiezen.

In de wiskunde wordt het woord "of" in de inclusieve betekenis gebruikt. Dus de verklaring "X is een element van EEN of een element van B"betekent dat een van de drie mogelijk is:

X is een element van rechtvaardig EEN en geen onderdeel van B
X is een element van rechtvaardig B en geen onderdeel van EEN.
X is een element van beide EEN en B. (We zouden dat ook kunnen zeggen X is een element van het snijpunt van EEN en B

Voorbeeld

Laten we voor een voorbeeld van hoe de unie van twee sets een nieuwe set vormt, de sets bekijken EEN = 1, 2, 3, 4, 5 en B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Om de unie van deze twee sets te vinden, vermelden we eenvoudig elk element dat we zien, waarbij we oppassen dat we geen elementen dupliceren. De getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 staan in de ene of de andere reeks, daarom is de unie van EEN en B is 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Notatie voor Union

Naast het begrijpen van de concepten met betrekking tot set-theorie-bewerkingen, is het belangrijk om symbolen te kunnen lezen die worden gebruikt om deze bewerkingen aan te duiden. Het symbool dat wordt gebruikt voor de combinatie van de twee sets EEN en B is gegeven door EEN ∪ B. Een manier om het symbool te onthouden ∪ verwijst naar vereniging is om op te merken dat het lijkt op een hoofdletter U, wat staat voor het woord 'vereniging'. Wees voorzichtig, omdat het symbool voor vereniging erg lijkt op het symbool voor kruising. De ene wordt van de andere verkregen door een verticale flip.

Raadpleeg het bovenstaande voorbeeld om deze notatie in actie te zien. Hier hadden we de sets EEN = 1, 2, 3, 4, 5 en B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dus we zouden de ingestelde vergelijking schrijven EEN ∪ B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Unie met de lege set

Eén basisidentiteit waarbij de unie betrokken is, laat ons zien wat er gebeurt als we de unie van een set met de lege set, aangeduid met # 8709, nemen. De lege set is de set zonder elementen. Dus dit samenvoegen met een andere set heeft geen effect. Met andere woorden, de vereniging van een set met de lege set geeft ons de originele set terug

Deze identiteit wordt nog compacter met het gebruik van onze notatie. We hebben de identiteit: EEN ∪ ∅ = EEN.

Unie met de universele set

Voor het andere uiterste, wat gebeurt er als we de vereniging van een set met de universele set onderzoeken? Omdat de universele set elk element bevat, kunnen we hier niets anders aan toevoegen. Dus de vereniging of elke set met de universele set is de universele set.

Opnieuw helpt onze notatie ons om deze identiteit in een compacter formaat uit te drukken. Voor elke set EEN en de universele set U, EEN ∪ U = U.

Andere identiteiten waarbij de Unie betrokken is

Er zijn nog veel meer vastgestelde identiteiten die het gebruik van de vakbondsoperatie impliceren. Natuurlijk is het altijd goed om te oefenen met de taal van de settheorie. Enkele van de belangrijkste zijn hieronder vermeld. Voor alle sets EEN, en B en D wij hebben:

Wederkerende eigenschap: EEN ∪ EEN =EEN
Gemeenschappelijk eigendom: EEN ∪ B = B ∪ EEN
Associatief eigendom: (EEN ∪ B) ∪ D =EEN ∪ (B ∪ D)
DeMorgan's Law I: (EEN ∩ B)^C = EEN^C ∪ B^C
Wet II van DeMorgan: (EEN ∪ B)^C = EEN^C ∩ B^C

Wetenschap