Berekeningen met de Gamma-functie

De gamma-functie wordt gedefinieerd door de volgende ingewikkeld ogende formule:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Een vraag die mensen hebben wanneer ze voor het eerst deze verwarrende vergelijking tegenkomen, is: "Hoe gebruik je deze formule om waarden van de gamma-functie te berekenen?" Dit is een belangrijke vraag, omdat het moeilijk is om te weten wat deze functie eigenlijk betekent en wat alle de symbolen staan ​​voor.

Een manier om deze vraag te beantwoorden is door verschillende voorbeeldberekeningen te bekijken met de gamma-functie. Voordat we dit doen, moeten we een paar dingen uit calculus weten, zoals hoe we een onjuiste integraal van type I kunnen integreren en dat e een wiskundige constante is. 

Motivatie

Voordat we berekeningen uitvoeren, onderzoeken we de motivatie achter deze berekeningen. Vaak verschijnen de gammafuncties achter de schermen. Verschillende waarschijnlijkheidsdichtheidsfuncties worden vermeld in termen van de gamma-functie. Voorbeelden hiervan zijn de gamma-verdeling en studenten t-verdeling. Het belang van de gamma-functie kan niet genoeg worden benadrukt. 

Γ (1)

De eerste voorbeeldberekening die we zullen bestuderen, is het vinden van de waarde van de gamma-functie voor Γ (1). Dit wordt gevonden door in te stellen z = 1 in de bovenstaande formule:

∫₀^∞e ^{- t}dt

We berekenen de bovenstaande integraal in twee stappen:

• De onbepaalde integraal ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Dit is een onjuiste integraal, dus we hebben ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Γ (2)

De volgende voorbeeldberekening die we zullen overwegen, is vergelijkbaar met het laatste voorbeeld, maar we verhogen de waarde van z met 1. We berekenen nu de waarde van de gamma-functie voor Γ (2) door in te stellen z = 2 in de bovenstaande formule. De stappen zijn hetzelfde als hierboven:

Γ (2) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

De onbepaalde integraal ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Hoewel we alleen de waarde van hebben verhoogd z bij 1 kost het meer werk om deze integraal te berekenen. Om deze integraal te vinden, moeten we een techniek uit de calculus gebruiken die bekend staat als integratie door onderdelen. We gebruiken nu de integratiebeperkingen net zoals hierboven en moeten het volgende berekenen:

lim_{b → ∞} - worden ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Een resultaat van calculus bekend als de regel van L'Hospital stelt ons in staat om de limietlimiet te berekenen_{b → ∞} - worden ^{- b} = 0. Dit betekent dat de waarde van onze bovenstaande integraal 1 is.

Γ (z +1) =zΓ (z )

Een ander kenmerk van de gamma-functie en een functie die deze verbindt met de faculteit is de formule Γ (z +1) =zΓ (z ) voor z elk complex getal met een positief reëel deel. De reden waarom dit waar is, is een direct resultaat van de formule voor de gamma-functie. Door integratie door onderdelen te gebruiken, kunnen we deze eigenschap van de gamma-functie vaststellen.