Een inleiding tot de wachtrijtheorie

Wachtrijtheorie is de wiskundige studie van wachtrijen of wachten in rijen. Wachtrijen bevatten klanten (of 'items') zoals mensen, objecten of informatie. Wachtrijen vormen wanneer er beperkte middelen zijn om een onderhoud. Als er bijvoorbeeld 5 kassa's in een supermarkt zijn, worden wachtrijen gevormd als meer dan 5 klanten tegelijkertijd hun artikelen willen betalen..

Een basis wachtrijsysteem bestaat uit een aankomstproces (hoe klanten in de wachtrij aankomen, hoeveel klanten in totaal aanwezig zijn), de wachtrij zelf, het serviceproces voor het bijwonen van die klanten en vertrek uit het systeem.

wiskundig wachtrijmodellen worden vaak gebruikt in software en bedrijven om de beste manier te bepalen om beperkte middelen te gebruiken. Wachtrijmodellen kunnen vragen beantwoorden als: Wat is de kans dat een klant 10 minuten in de rij wacht? Wat is de gemiddelde wachttijd per klant?

De volgende situaties zijn voorbeelden van hoe wachtlijntheorie kan worden toegepast:

In de rij staan bij een bank of een winkel
Wachten op een medewerker van de klantenservice om een oproep te beantwoorden nadat de oproep in de wacht is gezet
Wachten op een trein die komt
Wachten op een computer om een taak uit te voeren of te reageren
Wachten op een geautomatiseerde carwash om een rij auto's schoon te maken

Karakteriseren van een wachtrijsysteem

Wachtrijmodellen analyseren hoe klanten (inclusief mensen, objecten en informatie) een service ontvangen. Een wachtrijsysteem bevat:

Aankomst proces. Het aankomstproces is gewoon hoe klanten aankomen. Ze kunnen alleen of in groepen in een wachtrij komen en ze kunnen met bepaalde tussenpozen of willekeurig aankomen.
Gedrag. Hoe gedragen klanten zich wanneer ze in de rij staan? Sommigen zullen misschien willen wachten op hun plaats in de rij; anderen kunnen ongeduldig worden en weggaan. Weer anderen kunnen besluiten later weer in de wachtrij te gaan staan, bijvoorbeeld wanneer ze in de wacht worden gezet bij de klantenservice en besluiten terug te bellen in de hoop een snellere service te krijgen.
Hoe klanten worden bediend. Dit omvat de tijdsduur dat een klant wordt bediend, het aantal beschikbare servers om de klanten te helpen, of klanten één voor één of in batches worden bediend, en de volgorde waarin klanten worden bediend, ook wel service discipline.
Service discipline verwijst naar de regel waarmee de volgende klant wordt geselecteerd. Hoewel veel retailscenario's de regel 'wie het eerst komt, het eerst maalt' hanteert, kunnen andere situaties om andere soorten diensten vragen. Klanten kunnen bijvoorbeeld worden bediend in volgorde van prioriteit, of op basis van het aantal items dat ze moeten onderhouden (zoals in een snelstrook in een supermarkt). Soms wordt de laatste klant die aankomt eerst geserveerd (zoals in het geval van een stapel vuile vaat, waarbij de bovenste als eerste wordt gewassen).
Wachtkamer. Het aantal klanten dat in de wachtrij mag wachten, kan beperkt zijn op basis van de beschikbare ruimte.

Wiskunde van wachtrijtheorie

Kendall's notatie is een steno-notatie die de parameters van een standaard wachtrijmodel specificeert. De notatie van Kendall is geschreven in de vorm A / S / c / B / N / D, waarbij elk van de letters staat voor verschillende parameters.

De A-term beschrijft wanneer klanten in de wachtrij aankomen - met name de tijd tussen aankomsten, of interarrival tijden. Wiskundig specificeert deze parameter de waarschijnlijkheidsverdeling die de interarrivalietijden volgen. Een veel voorkomende kansverdeling die wordt gebruikt voor de A-term is de Poisson-verdeling.
De S-term beschrijft hoe lang het duurt voordat een klant wordt bediend nadat deze de wachtrij heeft verlaten. Wiskundig specificeert deze parameter de waarschijnlijkheidsverdeling die deze zijn servicetijden volgen. De Poisson-verdeling wordt ook vaak gebruikt voor de S-term.
De term c geeft het aantal servers in het wachtrijsysteem aan. Het model gaat ervan uit dat alle servers in het systeem identiek zijn, dus ze kunnen allemaal worden beschreven met de bovenstaande S-term.
De B-term geeft het totale aantal items aan dat zich in het systeem kan bevinden en omvat items die nog in de wachtrij staan en die worden onderhouden. Hoewel veel systemen in de echte wereld een beperkte capaciteit hebben, is het model gemakkelijker te analyseren als deze capaciteit als oneindig wordt beschouwd. Bijgevolg wordt, als de capaciteit van een systeem groot genoeg is, algemeen aangenomen dat het systeem oneindig is.
De N-term geeft het totale aantal potentiële klanten aan - d.w.z. het aantal klanten dat ooit in het wachtrijsysteem zou kunnen komen - dat als eindig of oneindig kan worden beschouwd.
De D-term geeft de servicediscipline van het wachtrijsysteem aan, zoals first-come-first-served of last-in-first-out.

Wet van Little, die voor het eerst werd bewezen door wiskundige John Little, stelt dat het gemiddelde aantal items in een wachtrij kan worden berekend door de gemiddelde snelheid waarmee de items in het systeem aankomen te vermenigvuldigen met de gemiddelde hoeveelheid tijd die ze erin doorbrengen.

In wiskundige notatie is de wet van Little: L = λW
L is het gemiddelde aantal items, λ is de gemiddelde aankomstsnelheid van de items in het wachtrijsysteem en W is de gemiddelde hoeveelheid tijd die de items in het wachtrijsysteem doorbrengen.
Wet van Little veronderstelt dat het systeem zich in een “stabiele toestand” bevindt - de wiskundige variabelen die het systeem kenmerken veranderen niet in de loop van de tijd.

Hoewel de wet van Little slechts drie ingangen nodig heeft, is deze vrij algemeen en kan deze worden toegepast op vele wachtrijsystemen, ongeacht het type items in de wachtrij of de manier waarop items in de wachtrij worden verwerkt. De wet van Little kan nuttig zijn bij het analyseren van hoe een wachtrij gedurende enige tijd heeft gepresteerd, of om snel te meten hoe een wachtrij momenteel presteert.

Bijvoorbeeld: een schoenendoosbedrijf wil het gemiddelde aantal schoenendoosjes uitzoeken dat in een magazijn is opgeslagen. Het bedrijf weet dat de gemiddelde aankomstsnelheid van de dozen in het magazijn 1000 schoenendozen / jaar is en dat de gemiddelde tijd die ze in het magazijn doorbrengen ongeveer 3 maanden of ¼ van een jaar is. Het gemiddelde aantal schoenendozen in het magazijn wordt dus gegeven door (1000 schoenendozen / jaar) x (¼ jaar) of 250 schoenendozen.

Belangrijkste leerpunten

Wachtrijtheorie is de wiskundige studie van wachtrijen of wachten in rijen.
Wachtrijen bevatten 'klanten' zoals mensen, objecten of informatie. Wachtrijen worden gevormd wanneer er beperkte bronnen zijn voor het leveren van een service.
Wachtrijtheorie kan worden toegepast op situaties die variëren van in de rij staan in de supermarkt tot wachten op een computer om een taak uit te voeren. Het wordt vaak gebruikt in software en zakelijke toepassingen om de beste manier te bepalen om beperkte middelen te gebruiken.
De notatie van Kendall kan worden gebruikt om de parameters van een wachtrijsysteem op te geven.
De wet van Little is een eenvoudige maar algemene uitdrukking die een snelle schatting kan geven van het gemiddelde aantal items in een wachtrij.

bronnen

Beasley, J. E. "Wachtrijtheorie."
Boxma, O. J. "Stochastische prestatiemodellering." 2008.
Lilja, D. Computerprestaties meten: een handleiding voor de praktijk, 2005.
Little, J. en Graves, S. "Hoofdstuk 5: Wet van Little." Building Intuition: Insights from Basic Operations Management Models and Principles. Springer Science + Business Media, 2008.
Mulholland, B. "Wet van Little: Hoe uw processen te analyseren (met stealth-bommenwerpers)." Process.st, 2017.

Wetenschap