Een voorbeeld van Chi-kwadraat test voor een multinomiaal experiment

Een gebruik van een chikwadraatverdeling is met hypothesetests voor multinomiale experimenten. Om te zien hoe deze hypothesetest werkt, zullen we de volgende twee voorbeelden onderzoeken. Beide voorbeelden doorlopen dezelfde reeks stappen:

1. Vorm de nul en alternatieve hypothesen
2. Bereken de teststatistiek
3. Zoek de kritische waarde
4. Maak een beslissing over het al dan niet afwijzen van onze nulhypothese. 

Voorbeeld 1: een eerlijke munt

Voor ons eerste voorbeeld willen we naar een munt kijken. Een eerlijke munt heeft een gelijke waarschijnlijkheid van 1/2 van komende koppen of staarten. We gooien 1000 keer een munt en registreren de resultaten van in totaal 580 koppen en 420 staarten. We willen de hypothese testen met een betrouwbaarheidsniveau van 95% dat de munt die we hebben omgedraaid redelijk is. Meer formeel, de nulhypothese H₀ is dat de munt eerlijk is. Aangezien we de waargenomen frequenties van resultaten van een muntworp vergelijken met de verwachte frequenties van een geïdealiseerde eerlijke munt, moet een chikwadraat-test worden gebruikt.

Bereken de Chi-Square statistiek

We beginnen met het berekenen van de chikwadraat statistiek voor dit scenario. Er zijn twee evenementen, koppen en staarten. Heads heeft een waargenomen frequentie van f₁ = 580 met verwachte frequentie van e₁ = 50% x 1000 = 500. Staarten hebben een waargenomen frequentie van f₂ = 420 met een verwachte frequentie van e₁ = 500.

We gebruiken nu de formule voor de chikwadraatstatistiek en zien dat χ² = (f₁ - e₁ )²/e₁ + (f₂ - e₂ )²/e₂= 80²/ 500 + (-80)²/ 500 = 25.6.

Zoek de kritische waarde

Vervolgens moeten we de kritische waarde vinden voor de juiste chikwadraatverdeling. Omdat er twee uitkomsten voor de medaille zijn, zijn er twee categorieën om te overwegen. Het aantal vrijheidsgraden is één minder dan het aantal categorieën: 2 - 1 = 1. We gebruiken de chi-kwadraatverdeling voor dit aantal vrijheidsgraden en zien dat χ²_0.95= 3,841.

Weigeren of weigeren niet?

Ten slotte vergelijken we de berekende chikwadraat statistiek met de kritische waarde uit de tabel. Sinds 25.6> 3.841 verwerpen we de nulhypothese dat dit een eerlijke munt is.

Voorbeeld 2: A Fair Die

Een eerlijke dobbelsteen heeft een gelijke waarschijnlijkheid van 1/6 van het gooien van een, twee, drie, vier, vijf of zes. We gooien een dobbelsteen 600 keer en merken op dat we een een 106 keer, een twee 90 keer, een drie 98 keer, een vier 102 keer, een vijf 100 keer en een zes 104 keer gooien. We willen de hypothese testen met een betrouwbaarheidsniveau van 95% dat we een eerlijke dobbelsteen hebben.

Bereken de Chi-Square statistiek

Er zijn zes gebeurtenissen, elk met een verwachte frequentie van 1/6 x 600 = 100. De waargenomen frequenties zijn f₁ = 106, f₂ = 90, f₃ = 98, f₄ = 102, f₅ = 100, f₆ = 104,

We gebruiken nu de formule voor de chikwadraatstatistiek en zien dat χ² = (f₁ - e₁ )²/e₁ + (f₂ - e₂ )²/e₂+ (f₃ - e₃ )²/e₃+(f₄ - e₄ )²/e₄+(f₅ - e₅ )²/e₅+(f₆ - e₆ )²/e₆ = 1,6.

Zoek de kritische waarde

Vervolgens moeten we de kritische waarde vinden voor de juiste chikwadraatverdeling. Aangezien er zes categorieën uitkomsten voor de dobbelsteen zijn, is het aantal vrijheidsgraden er één minder dan dit: 6 - 1 = 5. We gebruiken de chikwadraatverdeling voor vijf vrijheidsgraden en zien dat χ²_0.95= 11,071.

Weigeren of weigeren niet?

Ten slotte vergelijken we de berekende chikwadraat statistiek met de kritische waarde uit de tabel. Omdat de berekende chikwadraat statistiek 1,6 kleiner is dan onze kritische waarde van 11,071, kunnen we de nulhypothese niet verwerpen.