Wat is de scheefheid van een exponentiële distributie?

Gemeenschappelijke parameters voor kansverdeling zijn onder meer het gemiddelde en de standaarddeviatie. Het gemiddelde geeft een meting van het centrum en de standaarddeviatie vertelt hoe gespreid de verdeling is. Naast deze bekende parameters zijn er andere die de aandacht vestigen op andere functies dan de spread of het midden. Een dergelijke meting is die van scheefheid. Scheefheid geeft een manier om een ​​numerieke waarde toe te kennen aan de asymmetrie van een verdeling.

Een belangrijke verdeling die we zullen onderzoeken, is de exponentiële verdeling. We zullen zien hoe we kunnen bewijzen dat de scheefheid van een exponentiële verdeling 2 is.

Exponentiële waarschijnlijkheidsdichtheid Functie

We beginnen met het vermelden van de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie voor een exponentiële verdeling. Deze verdelingen hebben elk een parameter, die gerelateerd is aan de parameter uit het gerelateerde Poisson-proces. We geven deze verdeling aan als Exp (A), waarbij A de parameter is. De kansdichtheidsfunctie voor deze verdeling is:

f(X) = e^-X/EEN/ A, waar X is niet-negatief.

Hier e is de wiskundige constante e dat is ongeveer 2.718281828. Het gemiddelde en de standaarddeviatie van de exponentiële verdeling Exp (A) zijn beide gerelateerd aan de parameter A. In feite zijn het gemiddelde en de standaarddeviatie beide gelijk aan A.

Definitie van scheefheid

Scheefheid wordt gedefinieerd door een uitdrukking gerelateerd aan het derde moment over het gemiddelde. Deze uitdrukking is de verwachte waarde:

E [(X - μ)³/ σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³) / Σ³ = (E [X³] - 3μ (σ² - μ³) / Σ³.

We vervangen μ en σ door A, en het resultaat is dat de scheefheid E [X is³] / EEN³ - 4.

Het enige dat overblijft is om het derde moment over de oorsprong te berekenen. Hiervoor moeten we het volgende integreren:

∫^∞₀ X ³ f(X) dX.

Deze integraal heeft een oneindigheid voor een van zijn grenzen. Het kan dus worden geëvalueerd als een niet-integraal type I. We moeten ook bepalen welke integratietechniek te gebruiken. Omdat de functie om te integreren het product is van een polynome en exponentiële functie, zouden we integratie door onderdelen moeten gebruiken. Deze integratietechniek wordt verschillende keren toegepast. Het eindresultaat is dat:

EX³] = 6A³

We combineren dit vervolgens met onze vorige vergelijking voor de scheefheid. We zien dat de scheefheid 6 - 4 = 2 is.

Implicaties

Het is belangrijk op te merken dat het resultaat onafhankelijk is van de specifieke exponentiële verdeling waarmee we beginnen. De scheefheid van de exponentiële verdeling is niet afhankelijk van de waarde van parameter A.

Verder zien we dat het resultaat een positieve scheefheid is. Dit betekent dat de verdeling scheef naar rechts staat. Dit zou geen verrassing moeten zijn als we nadenken over de vorm van de grafiek van de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie. Al dergelijke verdelingen hebben y-intercept als 1 // theta en een staart die helemaal rechts van de grafiek komt, overeenkomend met hoge waarden van de variabele X.