Wat is de gamma-functie?

De gamma-functie is een ietwat gecompliceerde functie. Deze functie wordt gebruikt in wiskundige statistieken. Het kan worden gezien als een manier om de faculteit te generaliseren. 

De factor als functie

We leren vrij vroeg in onze wiskundecarrière dat de faculteit, gedefinieerd voor niet-negatieve gehele getallen n, is een manier om herhaalde vermenigvuldiging te beschrijven. Het wordt aangegeven door het gebruik van een uitroepteken. Bijvoorbeeld:

3! = 3 x 2 x 1 = 6 en 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

De enige uitzondering op deze definitie is nul-faculteit, waarbij 0! = 1. Terwijl we naar deze waarden voor de faculteit kijken, kunnen we paren n met n!. Dit geeft ons de punten (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), en zo Aan.

Als we deze punten plotten, kunnen we een paar vragen stellen:

• Is er een manier om de punten te verbinden en de grafiek in te vullen voor meer waarden?
• Is er een functie die overeenkomt met de faculteit voor niet-negatieve gehele getallen, maar is gedefinieerd op een grotere subset van de reële getallen.

Het antwoord op deze vragen is: "De gamma-functie."

Definitie van de gammafunctie

De definitie van de gamma-functie is erg complex. Het gaat om een ​​ingewikkeld ogende formule die er heel vreemd uitziet. De gamma-functie gebruikt wat calculus in zijn definitie, evenals het nummer e In tegenstelling tot meer bekende functies zoals polynomen of trigonometrische functies, wordt de gamma-functie gedefinieerd als de onjuiste integraal van een andere functie.

De gamma-functie wordt aangeduid met een hoofdletter gamma uit het Griekse alfabet. Dit ziet er als volgt uit: Γ ( z )

Kenmerken van de Gamma-functie

De definitie van de gamma-functie kan worden gebruikt om een ​​aantal identiteiten aan te tonen. Een van de belangrijkste hiervan is dat Γ ( z + 1) = z Γ ( z ). We kunnen dit gebruiken, en het feit dat Γ (1) = 1 uit de directe berekening:

Γ ( n ) = (n - 1) Γ ( n - 1) = (n - 1) (n - 2) Γ ( n - 2) = (n - 1)!

De bovenstaande formule legt het verband tussen de faculteit en de gamma-functie. Het geeft ons ook een andere reden waarom het zinvol is om de waarde van nulfactoriaal te definiëren als gelijk aan 1.

Maar we hoeven niet alleen hele getallen in de gamma-functie in te voeren. Elk complex getal dat geen negatief geheel getal is, bevindt zich in het domein van de gamma-functie. Dit betekent dat we de faculteit kunnen uitbreiden tot andere getallen dan niet-negatieve gehele getallen. Van deze waarden is een van de meest bekende (en verrassende) resultaten dat Γ (1/2) = √π.

Een ander resultaat dat vergelijkbaar is met het laatste, is dat Γ (1/2) = -2π. Inderdaad, de gamma-functie produceert altijd een uitvoer van een veelvoud van de vierkantswortel van pi wanneer een oneven veelvoud van 1/2 wordt ingevoerd in de functie.

Gebruik van de Gamma-functie

De gamma-functie komt voor in veel, schijnbaar niet-gerelateerde, wiskundige velden. In het bijzonder is de generalisatie van de faculteit verschaft door de gamma-functie nuttig bij sommige combinatorische en waarschijnlijkheidsproblemen. Sommige kansverdelingen worden direct gedefinieerd in termen van de gamma-functie. De gamma-verdeling wordt bijvoorbeeld vermeld in termen van de gamma-functie. Deze verdeling kan worden gebruikt om het tijdsinterval tussen aardbevingen te modelleren. Student's t-verdeling, die kan worden gebruikt voor gegevens waarbij we een onbekende populatiestandaarddeviatie hebben, en de chi-kwadraatverdeling worden ook gedefinieerd in termen van de gamma-functie.