Wat is de Cauchy-verdeling?

Een verdeling van een willekeurige variabele is niet belangrijk voor zijn toepassingen, maar voor wat het ons vertelt over onze definities. De Cauchy-verdeling is zo'n voorbeeld, ook wel een pathologisch voorbeeld genoemd. De reden hiervoor is dat, hoewel deze verdeling goed gedefinieerd is en verband houdt met een fysiek fenomeen, de verdeling geen gemiddelde of variantie heeft. Deze willekeurige variabele heeft inderdaad geen momentgenererende functie.

Definitie van de Cauchy-distributie

We definiëren de Cauchy-verdeling door een spinner te overwegen, zoals het type in een bordspel. Het midden van deze spinner wordt verankerd op de Y as op het punt (0, 1). Na het draaien van de spinner, zullen we het lijnsegment van de spinner verlengen totdat het de x-as kruist. Dit wordt gedefinieerd als onze willekeurige variabele X.

We laten w de kleinere van de twee hoeken aangeven die de spinner met de maakt Y as. We nemen aan dat deze spinner even waarschijnlijk elke hoek als een andere vormt, en dus heeft W een uniforme verdeling die varieert van -π / 2 tot π / 2.

Fundamentele trigonometrie biedt ons een verband tussen onze twee willekeurige variabelen:

X = bruinenw.

De cumulatieve verdelingsfunctie van X wordt als volgt afgeleid:

H(X) = P(X < X) = P(bruinen w < X) = P(w < arctanX)

We gebruiken dan het feit dat w is uniform, en dit geeft ons:

H(X) = 0,5 + (arctan X) / Π

Om de kansdichtheidsfunctie te verkrijgen, differentiëren we de cumulatieve dichtheidsfunctie. Het resultaat is h(x) = 1/ [π (1 + X²)]

Kenmerken van de Cauchy-distributie

Wat de Cauchy-verdeling interessant maakt, is dat hoewel we het hebben gedefinieerd met behulp van het fysieke systeem van een willekeurige spinner, een willekeurige variabele met een Cauchy-verdeling geen functie heeft voor het genereren van een gemiddelde, variantie of moment. Alle momenten over de oorsprong die worden gebruikt om deze parameters te definiëren, bestaan ​​niet.

We beginnen met het gemiddelde te overwegen. Het gemiddelde wordt gedefinieerd als de verwachte waarde van onze willekeurige variabele en dus E [X] = ∫_-∞^∞X / [π (1 + X²)] dX.

We integreren met behulp van substitutie. Als we gaan zitten u = 1 +X² dan zien we dat du = 2X dX. Na het maken van de vervanging convergeert de resulterende onjuiste integraal niet. Dit betekent dat de verwachte waarde niet bestaat en dat het gemiddelde niet is gedefinieerd.

Evenzo zijn de variantie en moment genererende functie ongedefinieerd.

Naamgeving van de Cauchy-distributie

De Cauchy-distributie is vernoemd naar de Franse wiskundige Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857). Ondanks dat deze distributie naar Cauchy is genoemd, werd informatie over de distributie voor het eerst gepubliceerd door Poisson.