Wat is Calculus? Definitie en praktische toepassingen

Calculus is een tak van de wiskunde die de studie van veranderingspercentages omvat. Voordat calculus werd uitgevonden, was alle wiskunde statisch: het kon alleen helpen objecten te berekenen die perfect stil waren. Maar het universum is constant in beweging en verandert. Geen objecten - van de sterren in de ruimte tot subatomaire deeltjes of cellen in het lichaam - zijn altijd in rust. Inderdaad, zo ongeveer alles in het universum is constant in beweging. Calculus hielp om te bepalen hoe deeltjes, sterren en materie daadwerkelijk in realtime bewegen en veranderen.

Calculus wordt gebruikt in een veelvoud van velden waarvan je normaal gesproken niet zou denken dat ze de concepten zouden gebruiken. Onder hen zijn natuurkunde, engineering, economie, statistiek en geneeskunde. Calculus wordt ook gebruikt in ongelijksoortige gebieden zoals ruimtevaart, evenals het bepalen van hoe medicijnen omgaan met het lichaam, en zelfs hoe veiligere structuren te bouwen. Je zult begrijpen waarom calculus op zoveel gebieden nuttig is als je een beetje weet over zijn geschiedenis en wat het is ontworpen om te doen en te meten.

Belangrijkste afhaalrestaurants: fundamentele stelling van de calculus

• Calculus is de studie van veranderingspercentages.
• Gottfried Leibniz en Isaac Newton, 17e-eeuwse wiskundigen, bedachten beiden onafhankelijk calculus. Newton vond het eerst uit, maar Leibniz creëerde de notaties die wiskundigen tegenwoordig gebruiken.
• Er zijn twee soorten calculus: Differentiële calculus bepaalt de mate van verandering van een hoeveelheid, terwijl integrale calculus de hoeveelheid vindt waarvan de mate van verandering bekend is.

Wie vond Calculus uit?

Calculus werd in de tweede helft van de 17e eeuw ontwikkeld door twee wiskundigen, Gottfried Leibniz en Isaac Newton. Newton ontwikkelde eerst calculus en paste deze direct toe op het begrip van fysieke systemen. Leibniz ontwikkelde onafhankelijk de notaties die in de calculus werden gebruikt. Simpel gezegd, terwijl elementaire wiskunde bewerkingen gebruikt zoals plus, min, tijden en deling (+, -, x en ÷), gebruikt calculus bewerkingen die functies en integralen gebruiken om veranderingssnelheden te berekenen.

Die tools lieten Newton, Leibniz en andere wiskundigen die volgden dingen op elk punt berekenen zoals de exacte helling van een curve. The Story of Mathematics verklaart het belang van Newtons fundamentele stelling van de calculus:

"In tegenstelling tot de statische geometrie van de Grieken, stond calculus wiskundigen en ingenieurs toe om de beweging en dynamische verandering in de veranderende wereld om ons heen te begrijpen, zoals de banen van planeten, de beweging van vloeistoffen, enz."

Met behulp van calculus konden wetenschappers, astronomen, natuurkundigen, wiskundigen en scheikundigen nu de baan van de planeten en sterren in kaart brengen, evenals het pad van elektronen en protonen op atomair niveau.

Differentiaal versus integrale berekening

Er zijn twee takken van calculus: differentiaal- en integraalrekening. "Differentiële calculus bestudeert de afgeleide en integrale calculusstudies ... de integraal", merkt het Massachusetts Institute of Technology op. Maar er is meer dan dat. Differentiaalrekening bepaalt de mate van verandering van een hoeveelheid. Het onderzoekt de mate van verandering van hellingen en bochten.

Deze tak houdt zich bezig met de studie van de snelheid van functiewijziging met betrekking tot hun variabelen, met name door het gebruik van derivaten en verschillen. De afgeleide is de helling van een lijn in een grafiek. Je vindt de helling van een lijn door de stijging over de run te berekenen.

Integraalrekening zoekt daarentegen naar de hoeveelheid waarvan de mate van verandering bekend is. Deze tak richt zich op concepten zoals hellingen van raaklijnen en snelheden. Terwijl de differentiaalrekening zich richt op de curve zelf, houdt de integrale berekening zich bezig met de ruimte of het gebied onder de curve. Integrale calculus wordt gebruikt om de totale grootte of waarde te berekenen, zoals lengten, gebieden en volumes.

Calculus speelde een integrale rol in de ontwikkeling van navigatie in de 17e en 18e eeuw omdat het zeilers toestond om de positie van de maan te gebruiken om de lokale tijd nauwkeurig te bepalen. Om hun positie op zee in kaart te brengen, moesten navigators zowel tijd als hoeken nauwkeurig kunnen meten. Vóór de ontwikkeling van calculus konden scheepsnavigators en kapiteins geen van beide doen.

Calculus - zowel afgeleid als integraal - hielp het begrip van dit belangrijke concept te verbeteren in termen van de curve van de aarde, de afstandsschepen moesten rond een curve reizen om op een specifieke locatie te komen, en zelfs de uitlijning van de aarde, zeeën en schepen in relatie tot de sterren.

Praktische toepassingen

Calculus heeft veel praktische toepassingen in het echte leven. Enkele concepten die calculus gebruiken omvatten beweging, elektriciteit, warmte, licht, harmonischen, akoestiek en astronomie. Calculus wordt gebruikt in geografie, computer vision (zoals voor autonoom rijden van auto's), fotografie, kunstmatige intelligentie, robotica, videogames en zelfs films. Calculus wordt ook gebruikt om de snelheid van radioactief verval in de chemie te berekenen, en zelfs om geboorte- en sterftecijfers te voorspellen, evenals in de studie van zwaartekracht en planetaire beweging, vloeistofstroom, scheepsontwerp, geometrische krommen en brugtechniek.

In de natuurkunde wordt calculus bijvoorbeeld gebruikt om beweging, elektriciteit, warmte, licht, harmonischen, akoestiek, astronomie en dynamiek te definiëren, te verklaren en te berekenen. De relativiteitstheorie van Einstein is gebaseerd op calculus, een gebied van wiskunde dat ook economen helpt voorspellen hoeveel winst een bedrijf of industrie kan maken. En in de scheepsbouw wordt calculus al vele jaren gebruikt om zowel de curve van de romp van het schip (met behulp van differentiaalrekening) als het gebied onder de romp (met behulp van integrale calculus) te bepalen, en zelfs in het algemene ontwerp van schepen.

Bovendien wordt calculus gebruikt om antwoorden te controleren voor verschillende wiskundige disciplines, zoals statistieken, analytische meetkunde en algebra.

Calculus in economie

Economen gebruiken calculus om vraag, aanbod en maximale potentiële winst te voorspellen. Vraag en aanbod zijn immers in wezen in kaart gebracht op een curve - en een steeds veranderende curve daarbij.

Economen gebruiken calculus om de prijselasticiteit van de vraag te bepalen. Ze verwijzen naar de steeds veranderende vraag-en-aanbodcurve als 'elastisch' en de acties van de curve als 'elasticiteit'. Om een ​​exacte maat voor de elasticiteit op een bepaald punt in een vraag- of aanbodcurve te berekenen, moet u nadenken over oneindig kleine prijsveranderingen en, als resultaat, wiskundige derivaten opnemen in uw elasticiteitsformules. Met Calculus kunt u specifieke punten bepalen op die steeds veranderende vraag-en-aanbodcurve.

Bron

"Calculus Samenvatting." Massachusetts Institute of Technology, 10 januari 2000, Cambridge, MA.