Voorwaardelijke waarschijnlijkheid gebruiken om de waarschijnlijkheid van kruising te berekenen

De voorwaardelijke kans op een gebeurtenis is de kans dat een gebeurtenis plaatsvindt EEN treedt op gezien een andere gebeurtenis B is al opgetreden. Dit type waarschijnlijkheid wordt berekend door de voorbeeldruimte waarmee we werken te beperken tot alleen de set B.

De formule voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid kan worden herschreven met behulp van een aantal basisalgebra. In plaats van de formule:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),

we vermenigvuldigen beide zijden met P (B) en verkrijg de equivalente formule:

P (A | B) X P (B) = P (A ∩ B).

We kunnen deze formule vervolgens gebruiken om de kans te vinden dat twee gebeurtenissen optreden met behulp van de voorwaardelijke kans.

Gebruik van formule

Deze versie van de formule is het meest nuttig wanneer we de voorwaardelijke waarschijnlijkheid kennen van EEN gegeven B evenals de waarschijnlijkheid van het evenement B. Als dit het geval is, kunnen we de waarschijnlijkheid van de kruising van berekenen EEN gegeven B door eenvoudigweg twee andere kansen te vermenigvuldigen. De waarschijnlijkheid van de kruising van twee gebeurtenissen is een belangrijk getal omdat het de waarschijnlijkheid is dat beide gebeurtenissen zich voordoen.

Voorbeelden

Stel voor ons eerste voorbeeld dat we de volgende waarden voor waarschijnlijkheden kennen: P (A | B) = 0,8 en P (B) = 0,5. De kans P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.

Hoewel het bovenstaande voorbeeld laat zien hoe de formule werkt, is het misschien niet het meest verhelderend hoe nuttig de bovenstaande formule is. Dus we zullen een ander voorbeeld overwegen. Er is een middelbare school met 400 studenten, waarvan 120 mannelijk en 280 vrouwelijk. Van de mannen is momenteel 60% ingeschreven voor een wiskundecursus. Van de vrouwen is momenteel 80% ingeschreven voor een wiskundecursus. Wat is de kans dat een willekeurig geselecteerde student een vrouw is die is ingeschreven voor een wiskundecursus?

Hier laten we F duidt het evenement aan "Geselecteerde student is een vrouw" en M het evenement 'Geselecteerde student staat ingeschreven voor een wiskundecursus'. We moeten de waarschijnlijkheid van de kruising van deze twee gebeurtenissen bepalen, of P (M ∩ F).

De bovenstaande formule laat ons dat zien P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). De kans dat een vrouw is geselecteerd is P (F) = 280/400 = 70%. De voorwaardelijke kans dat de geselecteerde student is ingeschreven voor een wiskundecursus, is gegeven omdat een vrouwelijke is geselecteerd P (M | F) = 80%. We vermenigvuldigen deze kansen samen en zien dat we een kans van 80% x 70% = 56% hebben om een ​​vrouwelijke student te selecteren die is ingeschreven voor een wiskundecursus.

Test op onafhankelijkheid

De bovenstaande formule met betrekking tot voorwaardelijke waarschijnlijkheid en de kans op kruising geeft ons een gemakkelijke manier om te zien of we te maken hebben met twee onafhankelijke gebeurtenissen. Sinds evenementen EEN en B zijn onafhankelijk als P (A | B) = P (A), het volgt uit de bovenstaande formule dat gebeurtenissen EEN en B zijn onafhankelijk als en alleen als:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

Dus als we dat weten VADER ) = 0,5, P (B) = 0,6 en P (A ∩ B) = 0,2, zonder iets anders te weten, kunnen we vaststellen dat deze gebeurtenissen niet onafhankelijk zijn. We weten dit omdat P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Dit is niet de waarschijnlijkheid van de kruising van EEN en B.