Gebruik van de Moment Generating-functie voor de binomiale verdeling
Share
Het gemiddelde en de variantie van een willekeurige variabele X met een binomiale kansverdeling kan moeilijk direct te berekenen zijn. Hoewel het duidelijk kan zijn wat er moet gebeuren bij het gebruik van de definitie van de verwachte waarde van X en X2, de daadwerkelijke uitvoering van deze stappen is een lastige combinatie van algebra en samenvattingen. Een alternatieve manier om het gemiddelde en de variantie van een binomiale verdeling te bepalen, is om de momentgenererende functie te gebruiken voor X.
Binomiale willekeurige variabele
Begin met de willekeurige variabele X en beschrijven de kansverdeling meer specifiek. Uitvoeren n onafhankelijke Bernoulli-proeven, die elk een kans van slagen hebben p en faalkans 1 - p. Dus de kansmassafunctie is
f (X) = C(n , X)pX(1 - p)n - X
Hier de term C(n , X) geeft het aantal combinaties van aan n elementen genomen X tegelijk, en X kan de waarden 0, 1, 2, 3, ... aannemen , n.
Moment genererende functie
Gebruik deze kansmassafunctie om de moment genererende functie van te verkrijgen X:
M(t) = ΣX = 0n etxC(n,X)>)pX(1 - p)n - X.
Het wordt duidelijk dat je de termen kunt combineren met exponent van X:
M(t) = ΣX = 0n (pet)XC(n,X)>) (1 - p)n - X.
Bovendien is de bovenstaande uitdrukking door het gebruik van de binomiale formule eenvoudig:
M(t) = [(1 - p) + pet]n.
Berekening van het gemiddelde
Om het gemiddelde en de variantie te vinden, moet u beide weten M'(0) en M"(0). Begin met het berekenen van uw derivaten en evalueer ze vervolgens op t = 0.
Je zult zien dat de eerste afgeleide van de moment genererende functie is:
M'(t) = n(pet) [(1 - p) + pet]n - 1.
Hieruit kun je het gemiddelde van de kansverdeling berekenen. M(0) = n(pe0) [(1 - p) + pe0]n - 1 = np. Dit komt overeen met de uitdrukking die we rechtstreeks hebben verkregen uit de definitie van het gemiddelde.
Berekening van de variantie
De berekening van de variantie wordt op een vergelijkbare manier uitgevoerd. Eerst differentiëren we de moment genererende functie opnieuw, en dan evalueren we deze afgeleide op t = 0. Hier zul je dat zien
M"(t) = n(n - 1) (pet)2[(1 - p) + pet]n - 2 + n(pet) [(1 - p) + pet]n - 1.
Om de variantie van deze willekeurige variabele te berekenen, moet u zoeken M"(t). Hier heb je M"(0) = n(n - 1)p2 +np. De variantie σ2 van uw distributie is
σ2 = M"(0) - [M(0)]2 = n(n - 1)p2 +np - (np)2 = np(1 - p).
Hoewel deze methode enigszins betrokken is, is het niet zo ingewikkeld als het berekenen van het gemiddelde en de variantie rechtstreeks uit de kansmassafunctie.
