De LIPET-strategie voor integratie door onderdelen

Integratie door onderdelen is een van de vele integratietechnieken die in de calculus worden gebruikt. Deze integratiemethode kan worden gezien als een manier om de productregel ongedaan te maken. Een van de problemen bij het gebruik van deze methode is het bepalen welke functie in onze integrand moet worden gekoppeld aan welk onderdeel. Het LIPET-acroniem kan worden gebruikt als een leidraad voor het opsplitsen van de delen van onze integraal.

Integratie door onderdelen

Herinner de methode van integratie door delen. De formule voor deze methode is:

∫ u dv = uv - ∫ v du.

Deze formule geeft aan welk deel van de integrand gelijk moet zijn u, en welk deel gelijk moet worden gesteld aan dv. LIPET is een hulpmiddel dat ons hierbij kan helpen.

Het LIPET-acroniem

Het woord "LIPET" is een acroniem, wat betekent dat elke letter staat voor een woord. In dit geval vertegenwoordigen de letters verschillende soorten functies. Deze identificaties zijn:

• L = Logaritmische functie
• I = inverse trigonometrische functie
• P = Polynomiale functie
• E = Exponentiële functie
• T = Goniometrische functie

Dit geeft een systematische lijst van wat u kunt proberen gelijk te stellen u in de formule voor integratie door onderdelen. Als er een logaritmische functie is, probeer deze dan gelijk te stellen aan u, met de rest van de integrand gelijk aan dv. Als er geen logaritmische of inverse trig-functies zijn, probeer dan een polynoom gelijk aan in te stellen u. De onderstaande voorbeelden helpen het gebruik van dit acroniem te verduidelijken.

voorbeeld 1

Overweeg ∫ X lnX dX. Aangezien er een logaritmische functie is, stelt u deze functie in op u = ln X. De rest van de integrand is dv = X dX. Hieruit volgt dat du = dX / X en dat v = X²/ 2.

Deze conclusie kon met vallen en opstaan ​​worden gevonden. De andere optie zou zijn geweest om in te stellen u = X. Dus du zou heel gemakkelijk te berekenen zijn. Het probleem ontstaat als we kijken naar dv = lnX. Integreer deze functie om te bepalen v. Helaas is dit een heel moeilijke integraal om te berekenen.

Voorbeeld 2

Beschouw de integraal ∫ X cos X dX. Begin met de eerste twee letters in LIPET. Er zijn geen logaritmische functies of inverse trigonometrische functies. De volgende letter in LIPET, een P, staat voor veeltermen. Sinds de functie X is een polynoom, set u = X en dv = cos X.

Dit is de juiste keuze voor integratie door onderdelen als du = dX en v = zonde X. De integraal wordt:

X zonde X - ∫ zonde X dX.

Verkrijg de integraal door een eenvoudige integratie van zonde X.

Wanneer LIPET mislukt

Er zijn enkele gevallen waarin LIPET mislukt, wat instelling vereist u gelijk aan een andere functie dan die voorgeschreven door LIPET. Om deze reden moet dit acroniem alleen worden gezien als een manier om gedachten te ordenen. De afkorting LIPET biedt ons ook een schets van een strategie om te proberen bij het gebruik van integratie door onderdelen. Het is geen wiskundige stelling of principe dat altijd de manier is om een ​​probleem van integratie door onderdelen te doorlopen.