Bereikregel voor standaardafwijking

De standaardafwijking en het bereik zijn beide maten voor de verspreiding van een gegevensset. Elk nummer vertelt ons op zijn eigen manier hoe gespreid de gegevens zijn, omdat ze allebei een maat voor variatie zijn. Hoewel er geen expliciet verband bestaat tussen het bereik en de standaarddeviatie, is er een vuistregel die nuttig kan zijn om deze twee statistieken te relateren. Deze relatie wordt soms de bereikregel voor standaardafwijking genoemd.

De bereikregel vertelt ons dat de standaardafwijking van een steekproef ongeveer gelijk is aan een vierde van het bereik van de gegevens. Met andere woorden s = (Maximum - Minimum) / 4. Dit is een zeer eenvoudige formule om te gebruiken en mag alleen worden gebruikt als een zeer ruwe schatting van de standaarddeviatie.

Een voorbeeld

Om een ​​voorbeeld te zien van hoe de bereikregel werkt, kijken we naar het volgende voorbeeld. Stel dat we beginnen met de gegevenswaarden 12, 12, 14, 15, 16, 18, 18, 20, 20, 25. Deze waarden hebben een gemiddelde van 17 en een standaardafwijking van ongeveer 4,1. Als we in plaats daarvan eerst het bereik van onze gegevens berekenen als 25 - 12 = 13 en dit getal vervolgens door vier delen, hebben we onze schatting van de standaardafwijking als 13/4 = 3,25. Dit aantal komt relatief dicht in de buurt van de werkelijke standaardafwijking en is goed voor een ruwe schatting.

Waarom werkt het?

Het lijkt misschien dat de bereikregel een beetje vreemd is. Waarom werkt het? Lijkt het niet volkomen willekeurig om het bereik door vier te delen? Waarom zouden we niet delen door een ander nummer? Er is eigenlijk een wiskundige rechtvaardiging achter de schermen.

Roep de eigenschappen van de belcurve en de waarschijnlijkheden van een standaard normale verdeling op. Eén functie heeft te maken met de hoeveelheid gegevens die binnen een bepaald aantal standaardafwijkingen valt:

• Ongeveer 68% van de gegevens valt binnen één standaardafwijking (hoger of lager) van het gemiddelde.
• Ongeveer 95% van de gegevens valt binnen twee standaarddeviaties (hoger of lager) van het gemiddelde.
• Ongeveer 99% ligt binnen drie standaarddeviaties (hoger of lager) van het gemiddelde.

Het aantal dat we zullen gebruiken, heeft te maken met 95%. We kunnen zeggen dat 95% van twee standaardafwijkingen onder het gemiddelde tot twee standaardafwijkingen boven het gemiddelde 95% van onze gegevens hebben. Dus zou bijna al onze normale verdeling zich uitstrekken over een lijnsegment dat in totaal vier standaarddeviaties lang is.

Niet alle gegevens zijn normaal verdeeld en hebben de vorm van een klokkromme. Maar de meeste gegevens gedragen zich goed genoeg om bijna alle gegevens weg te laten als u twee standaarddeviaties verwijdert van het gemiddelde. We schatten en zeggen dat vier standaardafwijkingen ongeveer de grootte van het bereik zijn, en dus is het bereik gedeeld door vier een ruwe benadering van de standaardafwijking.

Gebruikt voor de bereikregel

De bereikregel is nuttig in een aantal instellingen. Ten eerste is het een zeer snelle schatting van de standaardafwijking. De standaardafwijking vereist dat we eerst het gemiddelde vinden, vervolgens dit gemiddelde aftrekken van elk gegevenspunt, de verschillen kwadrateren, deze optellen, delen door één minder dan het aantal gegevenspunten, en dan (eindelijk) de vierkantswortel nemen. Aan de andere kant vereist de bereikregel slechts één aftrekking en één deling.

Andere plaatsen waar de bereikregel nuttig is, zijn wanneer we onvolledige informatie hebben. Formules zoals die om de steekproefomvang te bepalen, vereisen drie stukjes informatie: de gewenste foutmarge, het betrouwbaarheidsniveau en de standaarddeviatie van de populatie die we onderzoeken. Vaak is het onmogelijk om te weten wat de standaarddeviatie van de populatie is. Met de bereikregel kunnen we deze statistiek schatten en dan weten hoe groot we onze steekproef moeten maken.