Waarschijnlijkheid van de Unie van 3 of meer sets

Wanneer twee gebeurtenissen elkaar uitsluiten, kan de waarschijnlijkheid van hun vereniging worden berekend met de optelregel. We weten dat voor het gooien van een dobbelsteen, het gooien van een getal groter dan vier of een getal kleiner dan drie elkaar uitsluitende evenementen zijn, met niets gemeenschappelijks. Dus om de waarschijnlijkheid van deze gebeurtenis te vinden, voegen we eenvoudig de kans dat we een getal groter dan vier gooien, toe aan de kans dat we een getal kleiner dan drie gooien. In symbolen hebben we het volgende, waar de hoofdstad P geeft "waarschijnlijkheid van" aan:

P(groter dan vier of minder dan drie) = P(groter dan vier) + P(minder dan drie) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Als de gebeurtenissen zijn niet elkaar uitsluiten, dan tellen we niet gewoon de waarschijnlijkheden van de gebeurtenissen bij elkaar op, maar moeten we de waarschijnlijkheid van de kruising van de gebeurtenissen aftrekken. Gezien de gebeurtenissen EEN en B:

P(EEN U B) = P(EEN) + P(B) - P(EEN ∩ B).

Hier verklaren we de mogelijkheid om de elementen die in beide voorkomen, te dubbeltellen EEN en B, en daarom trekken we de waarschijnlijkheid van de kruising af.

De vraag die hieruit voortkomt is: “Waarom stoppen met twee sets? Wat is de waarschijnlijkheid van de vereniging van meer dan twee sets? "

Formule voor Union of 3 Sets

We zullen de bovenstaande ideeën uitbreiden naar de situatie waarin we drie sets hebben, die we zullen aanduiden EEN, B, en C. Meer dan dit gaan we niet aan, dus bestaat de mogelijkheid dat de sets een niet-leeg kruispunt hebben. Het doel zal zijn om de waarschijnlijkheid van de unie van deze drie sets te berekenen, of P (EEN U B U C).

De bovenstaande discussie voor twee sets geldt nog steeds. We kunnen de kansen van de afzonderlijke sets bij elkaar optellen EEN, B, en C, maar hierbij hebben we enkele elementen dubbel geteld.

De elementen op het snijpunt van EEN en B zijn dubbel geteld als voorheen, maar nu zijn er andere elementen die mogelijk twee keer zijn geteld. De elementen op het snijpunt van EEN en C en op de kruising van B en C zijn nu ook twee keer geteld. Dus de kansen van deze kruispunten moeten ook worden afgetrokken.

Maar hebben we te veel afgetrokken? Er is iets nieuws om te overwegen dat we ons geen zorgen hoefden te maken toen er slechts twee sets waren. Net zoals elke twee sets een kruising kunnen hebben, kunnen alle drie sets ook een kruising hebben. Door te proberen ervoor te zorgen dat we niets hebben geteld, hebben we niet alle elementen geteld die in alle drie sets verschijnen. Dus de waarschijnlijkheid van de kruising van alle drie sets moet opnieuw worden toegevoegd.

Hier is de formule die is afgeleid van de bovenstaande discussie:

P (EEN U B U C) = P(EEN) + P(B) + P(C) - P(EEN ∩ B) - P(EEN ∩ C) - P(B ∩ C) + P(EEN ∩ B ∩ C)

Voorbeeld met 2 dobbelstenen

Stel dat we een bordspel spelen waarbij twee dobbelstenen worden gegooid om de formule voor de waarschijnlijkheid van de combinatie van drie sets te zien. Vanwege de regels van het spel moeten we minstens één van de dobbelstenen krijgen om een ​​twee, drie of vier te zijn om te winnen. Wat is de waarschijnlijkheid hiervan? We merken op dat we proberen de waarschijnlijkheid te berekenen van de vereniging van drie gebeurtenissen: minstens één twee rollen, minstens één drie rollen, minstens één vier rollen. Dus we kunnen de bovenstaande formule gebruiken met de volgende kansen:

• De kans om een ​​twee te gooien is 11/36. De teller komt hier van het feit dat er zes uitkomsten zijn waarbij de eerste dobbelsteen een twee is, zes waarin de tweede dobbelsteen een twee is, en een uitkomst waarbij beide dobbelstenen tweeën zijn. Dit geeft ons 6 + 6 - 1 = 11.
• De kans om een ​​drie te gooien is 11/36, om dezelfde reden als hierboven.
• De kans om een ​​vier te gooien is 11/36, om dezelfde reden als hierboven.
• De kans om een ​​twee en een drie te gooien is 2/36. Hier kunnen we eenvoudig een lijst maken van de mogelijkheden, de twee kunnen als eerste komen of het kan als tweede komen.
• De kans om een ​​twee en een vier te gooien is 2/36, om dezelfde reden dat de waarschijnlijkheid van een twee en een drie 2/36 is.
• De kans om een ​​twee, drie en een vier te gooien is 0 omdat we slechts twee dobbelstenen werpen en er geen manier is om drie getallen met twee dobbelstenen te krijgen.

We gebruiken nu de formule en zien dat de kans om ten minste een twee, een drie of een vier te krijgen is

11/36 + 11/36 + 11/36 - 2/36 - 2/36 - 2/36 + 0 = 27/36.

Formule voor de waarschijnlijkheid van Unie van 4 sets

De reden waarom de formule voor de waarschijnlijkheid van de vereniging van vier sets zijn vorm heeft, is vergelijkbaar met de redenering voor de formule voor drie sets. Naarmate het aantal sets toeneemt, neemt ook het aantal paren, triples enzovoort toe. Met vier sets zijn er zes paarsgewijze kruispunten die moeten worden afgetrokken, vier drievoudige kruispunten om weer toe te voegen, en nu een viervoudige kruising die moet worden afgetrokken. Gegeven vier sets EEN, B, C en D, de formule voor de vereniging van deze sets is als volgt:

P (EEN U B U C U D) = P(EEN) + P(B) + P(C) +P(D) - P(EEN ∩ B) - P(EEN ∩ C) - P(EEN ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(EEN ∩ B ∩ C) + P(EEN ∩ B ∩ D) + P(EEN ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(EEN ∩ B ∩ C ∩ D).

Algemene patroon

We zouden formules kunnen schrijven (die er nog enger uitzien dan die hierboven) voor de waarschijnlijkheid van de vereniging van meer dan vier sets, maar bij het bestuderen van de bovenstaande formules moeten we enkele patronen opmerken. Deze patronen gelden om unies van meer dan vier sets te berekenen. De waarschijnlijkheid van de unie van een willekeurig aantal sets kan als volgt worden gevonden:

1. Voeg de kansen van de afzonderlijke gebeurtenissen toe.
2. Trek de kansen af ​​van de kruispunten van elk paar gebeurtenissen.
3. Voeg de kansen toe van het snijpunt van elke set van drie gebeurtenissen.
4. Trek de kansen af ​​van het snijpunt van elke set van vier gebeurtenissen.
5. Ga door met dit proces totdat de laatste waarschijnlijkheid de kans is op de kruising van het totale aantal sets waarmee we zijn begonnen.