Waarschijnlijkheden en leugenaarsdobbelstenen

Veel kansspelen kunnen worden geanalyseerd met behulp van de wiskunde van waarschijnlijkheid. In dit artikel zullen we verschillende aspecten van het spel, genaamd Liar's Dice, onderzoeken. Na het beschrijven van dit spel, zullen we de bijbehorende kansen berekenen.

Een korte beschrijving van Liar's Dice

De game van Liar's Dice is eigenlijk een familie van games met bluffen en misleiding. Er zijn een aantal varianten van dit spel, en het heeft verschillende namen, zoals Pirate's Dice, Deception en Dudo. Een versie van deze game was te zien in de film Pirates of the Caribbean: Dead Man's Chest.

In de versie van het spel die we zullen onderzoeken, heeft elke speler een beker en een set van hetzelfde aantal dobbelstenen. De dobbelstenen zijn standaard, zeszijdige dobbelstenen die genummerd zijn van één tot zes. Iedereen gooit zijn dobbelstenen en houdt ze onder de beker. Op het juiste moment kijkt een speler naar zijn set dobbelstenen en houdt deze verborgen voor alle anderen. Het spel is zo ontworpen dat elke speler perfecte kennis heeft van zijn eigen dobbelstenen, maar geen kennis heeft van de andere dobbelstenen die zijn gegooid.

Nadat iedereen de kans heeft gehad om naar hun dobbelstenen te kijken die werden gegooid, begint het bieden. Bij elke beurt heeft een speler twee keuzes: maak een hoger bod of noem het vorige bod een leugen. Biedingen kunnen hoger worden gemaakt door een hogere dobbelstenenwaarde van één tot zes te bieden, of door een groter aantal dezelfde dobbelstenenwaarde te bieden.

Een bod van 'Drie tweeën' kan bijvoorbeeld worden verhoogd door 'Vier tweeën' te vermelden. Het kan ook worden verhoogd door 'Drie drieën' te zeggen. Over het algemeen kunnen noch het aantal dobbelstenen noch de waarden van de dobbelstenen afnemen..

Aangezien de meeste dobbelstenen aan het zicht zijn onttrokken, is het belangrijk om te weten hoe sommige kansen te berekenen. Door dit te weten, is het gemakkelijker om te zien welke biedingen waarschijnlijk waar zijn en welke leugens waarschijnlijk zijn.

Verwachte waarde

De eerste overweging is om te vragen: "Hoeveel dobbelstenen van dezelfde soort zouden we verwachten?" Het antwoord op deze vraag maakt gebruik van het idee van verwachte waarde.

De verwachte waarde van een willekeurige variabele is de waarschijnlijkheid van een bepaalde waarde, vermenigvuldigd met deze waarde.

De kans dat de eerste dobbelsteen een twee is, is 1/6. Omdat de dobbelstenen onafhankelijk van elkaar zijn, is de kans dat elk van hen een twee is 1/6. Dit betekent dat het verwachte aantal gerolde tweeën 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6 is.

Natuurlijk is er niets speciaals aan het resultaat van twee. Er is ook niets speciaals aan het aantal dobbelstenen dat we hebben overwogen. Als we gingen n dobbelstenen, dan is het verwachte aantal van een van de zes mogelijke uitkomsten n/ 6. Dit nummer is goed om te weten, omdat het ons een basislijn geeft om te gebruiken bij het ondervragen van biedingen van anderen.

Als we bijvoorbeeld leugenaars dobbelstenen spelen met zes dobbelstenen, is de verwachte waarde van een van de waarden 1 tot en met 6 6/6 = 1. Dit betekent dat we sceptisch moeten zijn als iemand meer dan één waarde biedt. Op de lange termijn zouden we een gemiddelde nemen van elk van de mogelijke waarden.

Voorbeeld van exact rollen

Stel dat we vijf dobbelstenen gooien en dat we de kans willen vinden om twee drie te gooien. De kans dat een dobbelsteen een drie is, is 1/6. De kans dat een dobbelsteen niet drie is, is 5/6. Rollen van deze dobbelstenen zijn onafhankelijke gebeurtenissen, en dus vermenigvuldigen we de waarschijnlijkheden samen met behulp van de vermenigvuldigingsregel.

De kans dat de eerste twee dobbelstenen drieën zijn en de andere dobbelstenen geen drieën wordt gegeven door het volgende product:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

De eerste twee dobbelstenen zijn drieën is slechts één mogelijkheid. De dobbelstenen die drieën zijn, kunnen twee van de vijf dobbelstenen zijn die we gooien. We duiden een dobbelsteen aan die geen drie bij een * is. De volgende zijn mogelijke manieren om twee drieën uit vijf rollen te hebben: