Vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke evenementen

Het is belangrijk om te weten hoe u de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis kunt berekenen. Bepaalde soorten gebeurtenissen in waarschijnlijkheid worden onafhankelijk genoemd. Wanneer we een paar onafhankelijke gebeurtenissen hebben, vragen we ons soms af: "Wat is de kans dat beide gebeurtenissen zich voordoen?" In deze situatie kunnen we eenvoudig onze twee waarschijnlijkheden samen vermenigvuldigen.

We zullen zien hoe we de vermenigvuldigingsregel kunnen gebruiken voor onafhankelijke evenementen. Nadat we de basis hebben doorlopen, zien we de details van een paar berekeningen.

Definitie van onafhankelijke evenementen

We beginnen met een definitie van onafhankelijke gebeurtenissen. Waarschijnlijk zijn twee gebeurtenissen onafhankelijk als de uitkomst van één gebeurtenis geen invloed heeft op de uitkomst van de tweede gebeurtenis.

Een goed voorbeeld van een paar onafhankelijke gebeurtenissen is wanneer we een dobbelsteen gooien en vervolgens een munt omdraaien. Het nummer dat op de dobbelsteen staat, heeft geen effect op de munt die werd gegooid. Daarom zijn deze twee gebeurtenissen onafhankelijk.

Een voorbeeld van een paar gebeurtenissen die niet onafhankelijk zijn, is het geslacht van elke baby in een tweeling. Als de tweeling identiek is, zullen ze allebei mannelijk zijn, of beiden vrouwelijk.

Verklaring van de vermenigvuldigingsregel

De vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke gebeurtenissen relateert de waarschijnlijkheden van twee gebeurtenissen aan de waarschijnlijkheid dat beide zich voordoen. Om de regel te gebruiken, moeten we de waarschijnlijkheden hebben van elk van de onafhankelijke gebeurtenissen. Gegeven deze gebeurtenissen, geeft de vermenigvuldigingsregel aan dat de waarschijnlijkheid dat beide gebeurtenissen optreden wordt gevonden door de waarschijnlijkheden van elke gebeurtenis te vermenigvuldigen.

Formule voor de vermenigvuldigingsregel

De vermenigvuldigingsregel is veel gemakkelijker te vermelden en om mee te werken wanneer we wiskundige notatie gebruiken.

Evenementen aangeven EEN en B en de waarschijnlijkheden van elk door VADER) en P (B). Als EEN en B zijn onafhankelijke evenementen, dan:

VADER en B) = P (A) X P (B)

Sommige versies van deze formule gebruiken nog meer symbolen. In plaats van het woord 'en' kunnen we in plaats daarvan het kruispuntsymbool gebruiken: ∩. Soms wordt deze formule gebruikt als de definitie van onafhankelijke gebeurtenissen. Evenementen zijn onafhankelijk als en alleen als VADER en B) = P (A) X P (B).

Voorbeeld # 1 van het gebruik van de vermenigvuldigingsregel

We zullen zien hoe we de vermenigvuldigingsregel kunnen gebruiken door enkele voorbeelden te bekijken. Stel eerst dat we een zeszijdige dobbelsteen gooien en dan een munt omdraaien. Deze twee evenementen zijn onafhankelijk. De kans om een ​​1 te rollen is 1/6. De kans op een kop is 1/2. De kans om een ​​1 te rollen en een hoofd krijgen is 1/6 x 1/2 = 1/12.

Als we geneigd zouden zijn sceptisch te zijn over dit resultaat, is dit voorbeeld klein genoeg om alle resultaten te vermelden: (1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T). We zien dat er twaalf uitkomsten zijn, die alle even waarschijnlijk zijn. Daarom is de waarschijnlijkheid van 1 en een kop 1/12. De vermenigvuldigingsregel was veel efficiënter omdat we niet de volledige voorbeeldruimte hoefden te vermelden.

Voorbeeld # 2 van het gebruik van de vermenigvuldigingsregel

Stel voor het tweede voorbeeld dat we een kaart uit een standaard kaartspel trekken, deze kaart vervangen, de kaart schudden en dan opnieuw trekken. We vragen dan wat de kans is dat beide kaarten koningen zijn. Aangezien we hebben getekend met vervanging, zijn deze gebeurtenissen onafhankelijk en is de vermenigvuldigingsregel van toepassing. 

De kans om een ​​koning te trekken voor de eerste kaart is 1/13. De kans om een ​​koning te trekken op de tweede trekking is 1/13. De reden hiervoor is dat we de koning vervangen die we vanaf de eerste keer hebben getekend. Omdat deze gebeurtenissen onafhankelijk zijn, gebruiken we de vermenigvuldigingsregel om te zien dat de kans om twee koningen te trekken wordt gegeven door het volgende product 1/13 x 1/13 = 1/169.