Wiskundige eigenschappen van golven

Fysieke golven, of mechanische golven, vorm door de vibratie van een medium, of het nu een string is, de aardkorst of deeltjes van gassen en vloeistoffen. Golven hebben wiskundige eigenschappen die kunnen worden geanalyseerd om de beweging van de golf te begrijpen. Dit artikel introduceert deze algemene golfeigenschappen in plaats van hoe ze toe te passen in specifieke fysische situaties.

Dwars- en lengtegolven

Er zijn twee soorten mechanische golven.

A is zodanig dat de verplaatsingen van het medium loodrecht (dwars) staan ​​op de bewegingsrichting van de golf langs het medium. Een snaar trillen in periodieke beweging, zodat de golven erlangs bewegen, is een dwarse golf, net als golven in de oceaan.

EEN lengtegolf is zodanig dat de verplaatsingen van het medium heen en weer gaan in dezelfde richting als de golf zelf. Geluidsgolven, waarbij de luchtdeeltjes in de rijrichting worden voortgeduwd, zijn een voorbeeld van een longitudinale golf.

Hoewel de golven die in dit artikel worden besproken, verwijzen naar reizen in een medium, kan de hier geïntroduceerde wiskunde worden gebruikt om eigenschappen van niet-mechanische golven te analyseren. Elektromagnetische straling kan bijvoorbeeld door de lege ruimte reizen, maar heeft toch dezelfde wiskundige eigenschappen als andere golven. Het Doppler-effect voor geluidsgolven is bijvoorbeeld bekend, maar er bestaat een vergelijkbaar Doppler-effect voor lichtgolven en ze zijn gebaseerd op dezelfde wiskundige principes.

Wat veroorzaakt golven?

1. Golven kunnen worden gezien als een verstoring in het medium rond een evenwichtstoestand, die over het algemeen in rust is. De energie van deze verstoring is wat de golfbeweging veroorzaakt. Een plas water is in evenwicht wanneer er geen golven zijn, maar zodra er een steen in wordt gegooid, wordt het evenwicht van de deeltjes verstoord en begint de golfbeweging.
2. De verstoring van de golf reist, of propogates, met een bepaalde snelheid, genaamd de golfsnelheid (v).
3. Golven transporteren energie, maar dat doet er niet toe. Het medium zelf reist niet; de afzonderlijke deeltjes ondergaan heen en weer of op en neer beweging rond de evenwichtspositie.

De Wave-functie

Om golfbeweging wiskundig te beschrijven, verwijzen we naar het concept van a Golf functie, die op elk moment de positie van een deeltje in het medium beschrijft. De meest elementaire golffunctie is de sinusgolf, of sinusvormige golf, die een is periodieke golf (d.w.z. een golf met herhaalde beweging).

Het is belangrijk op te merken dat de golffunctie niet de fysieke golf weergeeft, maar eerder een grafiek van de verplaatsing rond de evenwichtspositie. Dit kan een verwarrend concept zijn, maar het nuttige is dat we een sinusvormige golf kunnen gebruiken om de meeste periodieke bewegingen weer te geven, zoals in een cirkel bewegen of een slinger zwaaien, die er niet noodzakelijkerwijs golfachtig uitzien als je de werkelijke bekijkt beweging.

Eigenschappen van de Wave-functie

• golfsnelheid (v) - de snelheid van de voortplanting van de golf
• amplitude (EEN) - de maximale grootte van de verplaatsing ten opzichte van het evenwicht, in SI-meters. Over het algemeen is het de afstand van het evenwichtsmiddelpunt van de golf tot zijn maximale verplaatsing, of het is de helft van de totale verplaatsing van de golf.
• periode (T) - is de tijd voor één golfcyclus (twee pulsen, of van top tot top of trog tot trog), in SI-eenheden van seconden (hoewel dit kan worden aangeduid als "seconden per cyclus").
• frequentie (f) - het aantal cycli in een tijdseenheid. De SI-eenheid van frequentie is de Hertz (Hz) en

  1 Hz = 1 cyclus / s = 1 s^-1

• hoekfrequentie (ω) - is 2π maal de frequentie, in SI-eenheden van radialen per seconde.
• golflengte (λ) - de afstand tussen twee willekeurige punten op overeenkomstige posities op opeenvolgende herhalingen in de golf, dus (bijvoorbeeld) van de ene top of trog naar de volgende, in SI-meters. 
• golfnummer (k) - ook wel de voortplantingsconstante, deze nuttige hoeveelheid is gedefinieerd als 2 π gedeeld door de golflengte, dus de SI-eenheden zijn radialen per meter.
• pulse - een halve golflengte, vanaf evenwicht terug

Enkele nuttige vergelijkingen bij het definiëren van de bovenstaande hoeveelheden zijn:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

De verticale positie van een punt op de golf, Y, kan worden gevonden als een functie van de horizontale positie, X, en de tijd, t, als we ernaar kijken. We danken de aardige wiskundigen voor dit werk voor ons en verkrijgen de volgende nuttige vergelijkingen om de golfbeweging te beschrijven:

Y(x, t) = EEN zonde ω(t - X/v) = EEN zonde 2π f(t - X/v)

Y(x, t) = EEN zonde 2π(t/T - X/v)

y (x, t) = EEN zonde (ω t - kx)

De golfvergelijking

Een laatste kenmerk van de golffunctie is dat het toepassen van calculus om de tweede afgeleide te nemen, de opbrengst oplevert golfvergelijking, wat een intrigerend en soms nuttig product is (waarvoor we de wiskundigen nogmaals bedanken en accepteren zonder het te bewijzen):