Voorbeeld van hypothesetest

Een belangrijk onderdeel van inferentiële statistieken is het testen van hypothesen. Net als bij het leren van alles wat met wiskunde te maken heeft, is het handig om verschillende voorbeelden te doorlopen. Het volgende onderzoekt een voorbeeld van een hypothesetest en berekent de waarschijnlijkheid van type I- en type II-fouten.

We gaan ervan uit dat de eenvoudige voorwaarden gelden. Meer specifiek zullen we aannemen dat we een eenvoudige steekproef van een populatie hebben die ofwel normaal verdeeld is of een steekproefgrootte heeft die groot genoeg is om de centrale limietstelling toe te passen. We nemen ook aan dat we de standaarddeviatie van de populatie kennen.

Verklaring van het probleem

Een zak chips is per gewicht verpakt. Een totaal van negen zakken worden gekocht, gewogen en het gemiddelde gewicht van deze negen zakken is 10,5 gram. Stel dat de standaardafwijking van de populatie van al dergelijke zakjes chips 0,6 ons is. Het vermelde gewicht op alle pakketten is 11 gram. Stel een significantieniveau in op 0,01.

Vraag 1

Ondersteunt de steekproef de hypothese dat het werkelijke populatiegemiddelde minder is dan 11 ounces?

We hebben een test met een lagere staart. Dit blijkt uit de verklaring van onze nul- en alternatieve hypothesen:

• H₀ : μ = 11.
• H_een : μ < 11.

De teststatistiek wordt berekend met de formule

z = (X-bar - μ₀) / (Σ / √n) = (10.5 - 11) / (0.6 / √ 9) = -0.5 / 0.2 = -2.5.

We moeten nu bepalen hoe waarschijnlijk deze waarde van z komt alleen door toeval. Door een tabel van te gebruiken z-scores zien we dat de kans dat z is kleiner dan of gelijk aan -2,5 is 0,0062. Omdat deze p-waarde kleiner is dan het significantieniveau, verwerpen we de nulhypothese en accepteren we de alternatieve hypothese. Het gemiddelde gewicht van alle zakjes chips is minder dan 11 ons.

vraag 2

Wat is de kans op een type I-fout?

Een type I-fout treedt op wanneer we een nulhypothese verwerpen die waar is. De kans op een dergelijke fout is gelijk aan het significantieniveau. In dit geval hebben we een significantieniveau gelijk aan 0,01, dus dit is de kans op een type I-fout.

vraag 3

Als het populatiegemiddelde eigenlijk 10,75 ounces is, wat is de kans op een Type II-fout?

We beginnen met het herformuleren van onze beslissingsregel in termen van het steekproefgemiddelde. Voor een significantieniveau van 0,01 verwerpen we de nulhypothese wanneer z < -2.33. By plugging this value into the formula for the test statistics, we reject the null hypothesis when

(X-bar - 11) / (0.6 / √ 9) < -2.33.

Evenzo verwerpen we de nulhypothese wanneer 11 - 2.33 (0.2)> X-balk, of wanneer X-bar is minder dan 10.534. We verwerpen de nulhypothese niet X-balk groter dan of gelijk aan 10.534. Als het werkelijke populatiegemiddelde 10.75 is, dan is de kans dat X-bar is groter dan of gelijk aan 10.534 is gelijk aan de kans dat z is groter dan of gelijk aan -0.22. Deze kans, dat is de kans op een type II-fout, is gelijk aan 0,587.