Exponentiële functie en verval

In de wiskunde beschrijft exponentieel verval het proces van het verminderen van een bedrag met een consistent percentage gedurende een bepaalde periode. Het kan worden uitgedrukt door de formule y = a (1-b)^X waarin Y is het uiteindelijke bedrag, een is het oorspronkelijke bedrag, b is de vervalfactor, en X is de hoeveelheid tijd die is verstreken.

De exponentiële vervalformule is nuttig in verschillende toepassingen in de echte wereld, met name voor het bijhouden van inventaris die regelmatig in dezelfde hoeveelheid wordt gebruikt (zoals voedsel voor een schoolcafetaria) en het is vooral handig in zijn vermogen om snel de langetermijnkosten te beoordelen van gebruik van een product na verloop van tijd.

Exponentieel verval verschilt van lineair verval doordat de vervalfactor afhankelijk is van een percentage van het oorspronkelijke bedrag, wat betekent dat het werkelijke aantal waarmee het oorspronkelijke bedrag mogelijk wordt verminderd, in de loop van de tijd verandert, terwijl een lineaire functie het oorspronkelijke aantal elke keer met hetzelfde bedrag verlaagt tijd.

Het is ook het tegenovergestelde van exponentiële groei, die doorgaans plaatsvindt op de aandelenmarkten, waarbij de waarde van een bedrijf in de loop van de tijd exponentieel zal groeien voordat het een plateau bereikt. Je kunt de verschillen tussen exponentiële groei en verval vergelijken en contrasteren, maar het is vrij eenvoudig: de ene verhoogt het oorspronkelijke bedrag en de andere verlaagt deze.

Elementen van een exponentiële vervalformule

Om te beginnen is het belangrijk om de exponentiële vervalformule te herkennen en elk van de elementen te kunnen identificeren:

y = a (1-b)^X

Om het nut van de vervalformule goed te begrijpen, is het belangrijk om te begrijpen hoe elk van de factoren wordt gedefinieerd, te beginnen met de uitdrukking "vervalfactor" - voorgesteld door de letter b in de exponentiële vervalformule, wat een percentage is waarmee het oorspronkelijke bedrag elke keer zal dalen.

Het oorspronkelijke bedrag hier vertegenwoordigd door de brief een in de formule - is het bedrag voordat het verval plaatsvindt, dus als je hier praktisch aan denkt, is het oorspronkelijke bedrag het aantal appels dat een bakkerij koopt en de exponentiële factor is het percentage appels dat elk uur wordt gebruikt om taarten te maken.

De exponent, die in het geval van exponentieel verval altijd tijd is en wordt uitgedrukt door de letter x, geeft aan hoe vaak het verval optreedt en wordt meestal uitgedrukt in seconden, minuten, uren, dagen of jaren.

Een voorbeeld van exponentieel verval

Gebruik het volgende voorbeeld om het concept van exponentieel verval in een real-world scenario te begrijpen:

Op maandag bedient Ledwith's cafetaria 5.000 klanten, maar op dinsdagochtend meldt het lokale nieuws dat het restaurant niet aan gezondheidsinspecties voldoet en schreeuwt! -Schendingen in verband met ongediertebestrijding. Dinsdag bedient het cafetaria 2500 klanten. Woensdag bedient de cafetaria slechts 1.250 klanten. Donderdag bedient het cafetaria een miezerige 625 klanten.

Zoals u ziet, daalde het aantal klanten elke dag met 50 procent. Dit type achteruitgang verschilt van een lineaire functie. In een lineaire functie zou het aantal klanten elke dag met hetzelfde bedrag afnemen. Het oorspronkelijke bedrag (een) zou 5.000 zijn, de vervalfactor (b ) zou daarom 0,5 zijn (50 procent geschreven als een decimaal), en de waarde van tijd (X) wordt bepaald door hoeveel dagen Ledwith de resultaten wil voorspellen.

Als Ledwith zou vragen hoeveel klanten hij binnen vijf dagen zou verliezen als de trend zich zou voortzetten, zou zijn accountant de oplossing kunnen vinden door alle bovenstaande nummers in de exponentiële vervalformule te stoppen om het volgende te krijgen:

y = 5000 (1-.5)⁵

De oplossing komt uit op 312 en een half, maar omdat u geen halve klant kunt hebben, zou de accountant het getal naar boven afronden naar 313 en kunnen zeggen dat Ledwith binnen vijf dagen nog 313 klanten zou kunnen verliezen!