Voorbeelden van ontelbare oneindige sets

Niet alle oneindige sets zijn hetzelfde. Een manier om onderscheid te maken tussen deze sets is door te vragen of de set telbaar oneindig is of niet. Op deze manier zeggen we dat oneindige sets telbaar of ontelbaar zijn. We zullen verschillende voorbeelden van oneindige sets bekijken en bepalen welke van deze ontelbaar zijn.

Telbaar oneindig

We beginnen met het uitsluiten van verschillende voorbeelden van oneindige sets. Veel van de oneindige sets waar we onmiddellijk aan zouden denken, blijken ontelbare oneindig te zijn. Dit betekent dat ze in een één-op-één correspondentie met de natuurlijke getallen kunnen worden geplaatst.

De natuurlijke getallen, gehele getallen en rationale getallen zijn allemaal telbaar oneindig. Elke vereniging of kruising van telbaar oneindige sets is ook telbaar. Het Cartesiaanse product van een willekeurig aantal telbare sets kan worden geteld. Elke subset van een telbare set kan ook worden geteld.

ontelbaar

De meest voorkomende manier waarop ontelbare sets worden geïntroduceerd, is door het interval (0, 1) van reële getallen te overwegen. Van dit feit en de één-op-één-functie f( X ) = bx + een. het is een duidelijke consequentie om aan te tonen dat elk interval (een, b) van reële getallen is ontelbaar oneindig.

De hele reeks reële getallen is ook ontelbaar. Een manier om dit aan te tonen is om de één-op-één tangensfunctie te gebruiken f ( X ) = geelbruin X. Het domein van deze functie is het interval (-π / 2, π / 2), een ontelbare set en het bereik is de set van alle reële getallen.

Andere ontelbare sets

De operaties van de basisset-theorie kunnen worden gebruikt om meer voorbeelden van ontelbare oneindige sets te produceren:

• Als EEN is een subset van B en EEN is ontelbaar, zo is het ook B. Dit biedt een eenvoudiger bewijs dat de hele reeks reële getallen ontelbaar is.
• Als EEN is ontelbaar en B is een set, dan is de unie EEN U B is ook ontelbaar.
• Als EEN is ontelbaar en B is een set, dan het Cartesiaanse product EEN X B is ook ontelbaar.
• Als EEN is oneindig (zelfs telbaar oneindig) dan is de vermogensset van EEN is ontelbaar.

Twee andere voorbeelden, die aan elkaar gerelateerd zijn, zijn enigszins verrassend. Niet elke deelverzameling van de reële getallen is ontelbaar oneindig (inderdaad, de rationale getallen vormen een telbare deelverzameling van de reals die ook dicht is). Bepaalde subsets zijn ontelbaar oneindig.

Een van deze ontelbare oneindige subsets omvat bepaalde soorten decimale uitbreidingen. Als we twee cijfers kiezen en elke mogelijke decimale uitbreiding vormen met alleen deze twee cijfers, dan is de resulterende oneindige set ontelbaar.

Een andere set is ingewikkelder om te bouwen en is ook ontelbaar. Begin met het gesloten interval [0,1]. Verwijder het middelste derde deel van deze set, resulterend in [0, 1/3] U [2/3, 1]. Verwijder nu het middelste derde deel van elk van de resterende stukken van de set. Dus (1/9, 2/9) en (7/9, 8/9) worden verwijderd. We gaan door op deze manier. De verzameling punten die overblijven nadat al deze intervallen zijn verwijderd, is geen interval, maar is ontelbaar oneindig. Deze set wordt de Cantor Set genoemd.

Er zijn oneindig veel ontelbare sets, maar de bovenstaande voorbeelden zijn enkele van de meest voorkomende sets.