Definitie en voorbeelden van een voorbeeldruimte in de statistiek

De verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een waarschijnlijkheidsexperiment vormt een verzameling die bekend staat als de voorbeeldruimte.

Waarschijnlijkheid houdt zich bezig met willekeurige fenomenen of waarschijnlijkheidsexperimenten. Deze experimenten zijn allemaal verschillend van aard en kunnen verschillende dingen betreffen, zoals dobbelstenen gooien of munten omdraaien. De rode draad in deze waarschijnlijkheidsexperimenten is dat er waarneembare resultaten zijn. De uitkomst gebeurt willekeurig en is onbekend voordat ons experiment werd uitgevoerd. 

In deze set theorie-formulering van waarschijnlijkheid komt de steekproefruimte voor een probleem overeen met een belangrijke set. Aangezien de voorbeeldruimte elke mogelijke uitkomst bevat, vormt deze een verzameling van alles wat we kunnen overwegen. Dus de voorbeeldruimte wordt de universele set die wordt gebruikt voor een bepaald waarschijnlijkheidsexperiment.

Gemeenschappelijke monsterruimten

Voorbeeldruimten zijn er in overvloed en zijn oneindig in aantal. Maar er zijn er een paar die vaak worden gebruikt voor voorbeelden in een inleidende statistiek of waarschijnlijkheidscursus. Hieronder staan ​​de experimenten en hun bijbehorende voorbeeldruimten:

• Voor het experiment met het omdraaien van een munt is de voorbeeldruimte Heads, Tails. Er zijn twee elementen in deze voorbeeldruimte.
• Voor het experiment waarbij twee munten worden omgedraaid, is de voorbeeldruimte (koppen, koppen), (koppen, staartjes), (staartjes, koppen), (staartjes, staartjes). Deze voorbeeldruimte heeft vier elementen.
• Voor het experiment waarbij drie munten worden omgedraaid, is de voorbeeldruimte (koppen, koppen, koppen), (koppen, koppen, staarten), (koppen, staarten, koppen), (koppen, staarten, koppen), (staarten, koppen, Koppen), (Staarten, Koppen, Staarten), (Staarten, Staarten, Koppen), (Staarten, Staarten, Staarten). Deze voorbeeldruimte heeft acht elementen.
• Voor het experiment met flippen n munten, waar n is een positief geheel getal, de steekproefruimte bestaat uit 2ⁿ elementen. Er zijn er in totaal C (n, k) manieren om te verkrijgen k hoofden en n - k staarten voor elk nummer k van 0 tot n.
• Voor het experiment dat bestaat uit het werpen van een enkele zeszijdige dobbelsteen, is de monsterruimte 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Voor het experiment van het gooien van twee zeszijdige dobbelstenen, bestaat de monsterruimte uit de set van de 36 mogelijke paren van de getallen 1, 2, 3, 4, 5 en 6.
• Voor het experiment van het werpen van drie zeszijdige dobbelstenen, bestaat de steekproefruimte uit de set van de 216 mogelijke drievoudige cijfers van de nummers 1, 2, 3, 4, 5 en 6.
• Voor het experiment van rollen n zeszijdige dobbelstenen, waar n is een positief geheel getal, de steekproefruimte bestaat uit 6ⁿ elementen.
• Voor een experiment van het trekken van een standaard kaartspel is de voorbeeldruimte de set met alle 52 kaarten in een kaartspel. In dit voorbeeld kan de steekproefruimte alleen rekening houden met bepaalde kenmerken van de kaarten, zoals rang of reeks.

Andere monsterruimten vormen

De bovenstaande lijst bevat enkele van de meest gebruikte voorbeeldruimten. Anderen zijn daar voor verschillende experimenten. Het is ook mogelijk om meerdere van de bovenstaande experimenten te combineren. Wanneer dit is gebeurd, eindigen we met een voorbeeldruimte die het Cartesiaanse product is van onze individuele voorbeeldruimten. We kunnen ook een boomdiagram gebruiken om deze voorbeeldruimten te vormen.

We willen bijvoorbeeld een waarschijnlijkheidsexperiment analyseren waarin we eerst een munt omdraaien en dan een dobbelsteen gooien. Aangezien er twee uitkomsten zijn voor het omdraaien van een munt en zes uitkomsten voor het gooien van een dobbelsteen, zijn er in totaal 2 x 6 = 12 uitkomsten in de steekproefruimte die we overwegen.