De waarschijnlijkheid berekenen van het willekeurig kiezen van een priemgetal

Getaltheorie is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de verzameling gehele getallen. We beperken ons enigszins door dit te doen, omdat we niet direct andere getallen bestuderen, zoals irrationele personen. Andere soorten reële getallen worden echter gebruikt. Daarnaast heeft het onderwerp waarschijnlijkheid vele verbanden en kruisingen met de getaltheorie. Een van deze verbindingen heeft te maken met de verdeling van priemgetallen. Meer specifiek kunnen we ons afvragen wat de waarschijnlijkheid is dat een willekeurig gekozen geheel getal van 1 tot X is een priemgetal?

Aannames en definities

Zoals met elk wiskundig probleem, is het belangrijk om niet alleen te begrijpen welke veronderstellingen worden gemaakt, maar ook de definities van alle belangrijke termen in het probleem. Voor dit probleem overwegen we de positieve gehele getallen, dat wil zeggen de hele getallen 1, 2, 3, ... tot op een bepaald getal X. We kiezen willekeurig een van deze nummers, wat betekent dat alles X van hen zal even waarschijnlijk worden gekozen.

We proberen de kans te bepalen dat een priemgetal wordt gekozen. Daarom moeten we de definitie van een priemgetal begrijpen. Een priemgetal is een positief geheel getal dat precies twee factoren heeft. Dit betekent dat de enige delers van priemgetallen één zijn en het getal zelf. Dus 2,3 en 5 zijn priemgetallen, maar 4, 8 en 12 zijn geen priemgetallen. We merken op dat, omdat er twee factoren in een priemgetal moeten zijn, het getal 1 is niet eerste.

Oplossing voor lage aantallen

De oplossing voor dit probleem is eenvoudig voor lage aantallen X. We hoeven alleen maar het aantal priemgetallen te tellen dat kleiner is dan of gelijk aan X. We delen het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan X door het nummer X.

Om bijvoorbeeld de kans te vinden dat een priemgetal van 1 tot 10 wordt geselecteerd, moeten we het aantal priemgetallen van 1 tot 10 delen door 10. De getallen 2, 3, 5, 7 zijn priemgetallen, dus de kans dat een priemgetal geselecteerd is 4/10 = 40%.

De waarschijnlijkheid dat een priemgetal wordt gekozen van 1 tot 50 kan op een vergelijkbare manier worden gevonden. De priemgetallen die kleiner zijn dan 50 zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 en 47. Er zijn 15 priemgetallen kleiner dan of gelijk aan 50. De kans dat een priemgetal willekeurig wordt geselecteerd, is dus 15/50 = 30%.

Dit proces kan worden uitgevoerd door eenvoudig priemgetallen te tellen zolang we een lijst met priemgetallen hebben. Er zijn bijvoorbeeld 25 priemgetallen kleiner dan of gelijk aan 100. (Dus de kans dat een willekeurig gekozen getal van 1 tot 100 priem is, is 25/100 = 25%.) Als we echter geen lijst met priemgetallen hebben, het kan voor de computer ontmoedigend zijn om de verzameling priemgetallen te bepalen die kleiner zijn dan of gelijk zijn aan een bepaald getal X.

De priemgetallenstelling

Als u geen telling hebt van het aantal priemgetallen dat kleiner is dan of gelijk is aan X, dan is er een alternatieve manier om dit probleem op te lossen. De oplossing omvat een wiskundig resultaat dat bekend staat als de priemgetalstelling. Dit is een uitspraak over de algehele verdeling van de priemgetallen en kan worden gebruikt om de waarschijnlijkheid te schatten die we proberen te bepalen.

De stelling van het priemgetal stelt dat er ongeveer zijn X / ln (X) priemgetallen die kleiner zijn dan of gelijk zijn aan X. Hier ln (X) geeft de natuurlijke logaritme van aan X, of met andere woorden de logaritme met een basis van het nummer e. Als de waarde van X verhoogt de benadering verbetert, in de zin dat we een afname zien in de relatieve fout tussen het aantal priemgetallen kleiner dan X en de uitdrukking X / ln (X).

Toepassing van de priemgetallenstelling

We kunnen het resultaat van de priemgetallenstelling gebruiken om het probleem op te lossen dat we proberen aan te pakken. We weten door de stelling van het priemgetal dat er ongeveer zijn X / ln (X) priemgetallen die kleiner zijn dan of gelijk zijn aan X. Verder zijn er in totaal X positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan X. Daarom is de kans dat een willekeurig gekozen getal in dit bereik priem is (X / ln (X)) /X = 1 / ln (X).

Voorbeeld

We kunnen dit resultaat nu gebruiken om de kans te schatten om willekeurig een priemgetal te selecteren uit de eerste miljard gehele getallen. We berekenen de natuurlijke logaritme van een miljard en zien dat ln (1.000.000.000) ongeveer 20,7 is en 1 / ln (1.000.000.000) ongeveer 0,0483 is. We hebben dus een kans van ongeveer 4,83% om willekeurig een priemgetal te kiezen uit de eerste miljard gehele getallen.