Berekening van de gemiddelde absolute afwijking
Share
Er zijn veel metingen van verspreiding of spreiding in statistieken. Hoewel het bereik en de standaarddeviatie het meest worden gebruikt, zijn er andere manieren om dispersie te kwantificeren. We zullen kijken hoe we de gemiddelde absolute afwijking voor een gegevensset kunnen berekenen.
Definitie
We beginnen met de definitie van de gemiddelde absolute afwijking, ook wel de gemiddelde absolute afwijking genoemd. De formule die bij dit artikel wordt weergegeven, is de formele definitie van de gemiddelde absolute afwijking. Het kan logischer zijn om deze formule te beschouwen als een proces of een reeks stappen die we kunnen gebruiken om onze statistiek te verkrijgen.
- We beginnen met een gemiddelde, of meting van het centrum, van een gegevensset, die we zullen aangeven m.
- Vervolgens zien we in welke mate elk van de gegevenswaarden afwijkt m. Dit betekent dat we het verschil nemen tussen elk van de gegevenswaarden en m.
- Hierna nemen we de absolute waarde van elk van het verschil met de vorige stap. Met andere woorden, we laten eventuele negatieve signalen voor een van de verschillen vallen. De reden hiervoor is dat er positieve en negatieve afwijkingen van zijn m. Als we geen manier vinden om de negatieve tekens te elimineren, zullen alle afwijkingen elkaar opheffen als we ze bij elkaar optellen.
- Nu voegen we al deze absolute waarden bij elkaar.
- Ten slotte delen we deze som door n, dat is het totale aantal gegevenswaarden. Het resultaat is de gemiddelde absolute afwijking.
variaties
Er zijn verschillende variaties voor het bovenstaande proces. Merk op dat we niet precies hebben gespecificeerd wat m is. De reden hiervoor is dat we hiervoor verschillende statistieken kunnen gebruiken m. Meestal is dit het middelpunt van onze gegevensset, en dus kunnen alle metingen van de centrale neiging worden gebruikt.
De meest voorkomende statistische metingen van het midden van een gegevensset zijn het gemiddelde, de mediaan en de modus. Dus elk van deze zou kunnen worden gebruikt als m bij de berekening van de gemiddelde absolute afwijking. Daarom is het gebruikelijk om te verwijzen naar de gemiddelde absolute afwijking van het gemiddelde of de gemiddelde absolute afwijking van de mediaan. We zullen hier verschillende voorbeelden van zien.
Voorbeeld: gemiddelde absolute afwijking over het gemiddelde
Stel dat we beginnen met de volgende gegevensset:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
Het gemiddelde van deze gegevensset is 5. De volgende tabel zal ons werk organiseren om de gemiddelde absolute afwijking ten opzichte van het gemiddelde te berekenen.
| Gegevenswaarde | Afwijking van gemiddelde | Absolute waarde van afwijking |
| 1 | 1-5 = -4 | | -4 | = 4 |
| 2 | 2 - 5 = -3 | | -3 | = 3 |
| 2 | 2 - 5 = -3 | | -3 | = 3 |
| 3 | 3-5 = -2 | | -2 | = 2 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 9 | 9 - 5 = 4 | | 4 | = 4 |
| Totaal van absolute afwijkingen: | 24 |
We delen deze som nu door 10, omdat er in totaal tien gegevenswaarden zijn. De gemiddelde absolute afwijking van het gemiddelde is 24/10 = 2,4.
Voorbeeld: gemiddelde absolute afwijking over het gemiddelde
Nu beginnen we met een andere gegevensset:
1, 1, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10.
Net als de vorige gegevensset is het gemiddelde van deze gegevensset 5.
| Gegevenswaarde | Afwijking van gemiddelde | Absolute waarde van afwijking |
| 1 | 1-5 = -4 | | -4 | = 4 |
| 1 | 1-5 = -4 | | -4 | = 4 |
| 4 | 4 - 5 = -1 | | -1 | = 1 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | | 0 | = 0 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | | 2 | = 2 |
| 10 | 10 - 5 = 5 | | 5 | = 5 |
| Totaal van absolute afwijkingen: | 18 |
De gemiddelde absolute afwijking van het gemiddelde is dus 18/10 = 1,8. We vergelijken dit resultaat met het eerste voorbeeld. Hoewel het gemiddelde voor elk van deze voorbeelden identiek was, waren de gegevens in het eerste voorbeeld meer verspreid. We zien uit deze twee voorbeelden dat de gemiddelde absolute afwijking van het eerste voorbeeld groter is dan de gemiddelde absolute afwijking van het tweede voorbeeld. Hoe groter de gemiddelde absolute afwijking, hoe groter de spreiding van onze gegevens.
Voorbeeld: gemiddelde absolute afwijking over de mediaan
Begin met dezelfde gegevensset als het eerste voorbeeld:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
De mediaan van de gegevensset is 6. In de volgende tabel tonen we de details van de berekening van de gemiddelde absolute afwijking ten opzichte van de mediaan.
| Gegevenswaarde | Afwijking van mediaan | Absolute waarde van afwijking |
| 1 | 1 - 6 = -5 | | -5 | = 5 |
| 2 | 2-6 = -4 | | -4 | = 4 |
| 2 | 2-6 = -4 | | -4 | = 4 |
| 3 | 3-6 = -3 | | -3 | = 3 |
| 5 | 5 - 6 = -1 | | -1 | = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | | 1 | = 1 |
| 9 | 9 - 6 = 3 | | 3 | = 3 |
| Totaal van absolute afwijkingen: | 24 |
Opnieuw delen we het totaal door 10 en verkrijgen we een gemiddelde gemiddelde afwijking rond de mediaan als 24/10 = 2,4.
Voorbeeld: gemiddelde absolute afwijking over de mediaan
Begin met dezelfde gegevensset als hiervoor:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
Deze keer vinden we de modus van deze gegevensset 7. In de volgende tabel tonen we de details van de berekening van de gemiddelde absolute afwijking van de modus.
| Gegevens | Afwijking van modus | Absolute waarde van afwijking |
| 1 | 1-7 = -6 | | -5 | = 6 |
| 2 | 2-7 = -5 | | -5 | = 5 |
| 2 | 2-7 = -5 | | -5 | = 5 |
| 3 | 3-7 = -4 | | -4 | = 4 |
| 5 | 5 - 7 = -2 | | -2 | = 2 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | | 0 | = 0 |
| 9 | 9 - 7 = 2 | | 2 | = 2 |
| Totaal van absolute afwijkingen: | 22 |
We delen de som van de absolute afwijkingen en zien dat we een gemiddelde absolute afwijking hebben over de modus van 22/10 = 2.2.
Snelle feiten
Er zijn een paar basiseigenschappen met betrekking tot gemiddelde absolute afwijkingen
- De gemiddelde absolute afwijking ten opzichte van de mediaan is altijd kleiner dan of gelijk aan de gemiddelde absolute afwijking ten opzichte van het gemiddelde.
- De standaardafwijking is groter dan of gelijk aan de gemiddelde absolute afwijking ten opzichte van het gemiddelde.
- De gemiddelde absolute afwijking wordt soms afgekort door MAD. Helaas kan dit dubbelzinnig zijn, omdat MAD afwisselend naar de mediane absolute afwijking kan verwijzen.
- De gemiddelde absolute afwijking voor een normale verdeling is ongeveer 0,8 keer de grootte van de standaarddeviatie.
Gemeenschappelijk gebruik
De gemiddelde absolute afwijking heeft een paar toepassingen. De eerste toepassing is dat deze statistiek kan worden gebruikt om enkele van de ideeën achter de standaarddeviatie te onderwijzen. De gemiddelde absolute afwijking van het gemiddelde is veel gemakkelijker te berekenen dan de standaardafwijking. Het vereist niet dat we de afwijkingen kwadrateren en we hoeven geen vierkantswortel te vinden aan het einde van onze berekening. Bovendien is de gemiddelde absolute afwijking intuïtiever verbonden met de verspreiding van de gegevensverzameling dan wat de standaarddeviatie is. Dit is de reden waarom de gemiddelde absolute afwijking soms eerst wordt geleerd, voordat de standaardafwijking wordt geïntroduceerd.
Sommigen zijn zelfs zo ver gegaan dat de standaardafwijking moet worden vervangen door de gemiddelde absolute afwijking. Hoewel de standaardafwijking belangrijk is voor wetenschappelijke en wiskundige toepassingen, is deze niet zo intuïtief als de gemiddelde absolute afwijking. Voor dagelijkse toepassingen is de gemiddelde absolute afwijking een meer tastbare manier om te meten hoe verspreid de gegevens zijn.
