Binomiale tabel voor n = 10 en n = 11

Van alle discrete willekeurige variabelen is een van de belangrijkste vanwege zijn toepassingen een binomiale willekeurige variabele. De binomiale verdeling, die de waarschijnlijkheden geeft voor de waarden van dit type variabele, wordt volledig bepaald door twee parameters: n en p. Hier n is het aantal proeven en p is de kans van slagen op die proef. De onderstaande tabellen zijn voor n = 10 en 11. De kansen in elk worden afgerond op drie decimalen.

We moeten altijd vragen of een binomiale verdeling moet worden gebruikt. Om een binomiale verdeling te gebruiken, moeten we controleren en zien of aan de volgende voorwaarden is voldaan:

We hebben een eindig aantal observaties of proeven.
De uitkomst van de leerproef kan worden geclassificeerd als een succes of een mislukking.
De kans op succes blijft constant.
De waarnemingen zijn onafhankelijk van elkaar.

De binomiale verdeling geeft de kans op r successen in een experiment met in totaal n onafhankelijke proeven, elk met kans op succes p. Waarschijnlijkheden worden berekend met de formule C(n, r)p^r(1 - p)^{n - r} waar C(n, r) is de formule voor combinaties.

De tabel is gerangschikt volgens de waarden van p en van r. Er is een andere tabel voor elke waarde van n.

Andere tabellen

Voor andere binomiale distributietabellen hebben we n = 2 tot 6, n = 7 tot 9. Voor situaties waarin np en n(1 - p) groter zijn dan of gelijk zijn aan 10, kunnen we de normale benadering van de binomiale verdeling gebruiken. In dit geval is de benadering erg goed en hoeft de binomiale coëfficiënten niet te worden berekend. Dit biedt een groot voordeel omdat deze binomiale berekeningen behoorlijk ingewikkeld kunnen zijn.

Voorbeeld

Het volgende voorbeeld uit de genetica zal illustreren hoe de tabel te gebruiken. Stel dat we weten dat de kans dat een nakomeling twee kopieën van een recessief gen zal erven (en dus met de recessieve eigenschap eindigt) 1/4 is.

We willen de kans berekenen dat een bepaald aantal kinderen in een gezin met tien leden deze eigenschap bezit. Laat X wees het aantal kinderen met deze eigenschap. We kijken naar de tafel voor n = 10 en de kolom met p = 0,25 en zie de volgende kolom:

.056, .188, .282, .250, .146, .058, .016, .003

Dit betekent voor ons voorbeeld dat

P (X = 0) = 5,6%, wat de kans is dat geen van de kinderen de recessieve eigenschap heeft.
P (X = 1) = 18,8%, wat de kans is dat een van de kinderen de recessieve eigenschap heeft.
P (X = 2) = 28,2%, wat de kans is dat twee van de kinderen de recessieve eigenschap hebben.
P (X = 3) = 25,0%, wat de kans is dat drie van de kinderen de recessieve eigenschap hebben.
P (X = 4) = 14,6%, wat de kans is dat vier van de kinderen de recessieve eigenschap hebben.
P (X = 5) = 5,8%, wat de waarschijnlijkheid is dat vijf van de kinderen de recessieve eigenschap hebben.
P (X = 6) = 1,6%, dat is de kans dat zes van de kinderen de recessieve eigenschap hebben.
P (X = 7) = 0,3%, wat de waarschijnlijkheid is dat zeven van de kinderen de recessieve eigenschap hebben.

Tabellen voor n = 10 tot n = 11

n = 10

	p	.01	.05	.10	.15	.20	.25	.30	.35	.40	.45	.50	.55	.60	.65	.70	.75	.80	.85	.90	.95
r	0	.904	.599	.349	.197	.107	.056	.028	.014	.006	.003	.001	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000
	1	.091	.315	.387	.347	.268	.188	.121	.072	.040	.021	.010	.004	.002	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000
	2	.004	.075	.194	.276	.302	.282	.233	.176	.121	.076	.044	.023	.011	.004	.001	.000	.000	.000	.000	.000
	3	.000	.010	.057	.130	.201	.250	.267	.252	.215	.166	.117	.075	.042	.021	.009	.003	.001	.000	.000	.000
	4	.000	.001	.011	.040	.088	.146	.200	.238	.251	.238	.205	.160	.111	.069	.037	.016	.006	.001	.000	.000
	5	.000	.000	.001	.008	.026	.058	.103	.154	.201	.234	.246	.234	.201	.154	.103	.058	.026	.008	.001	.000
	6	.000	.000	.000	.001	.006	.016	.037	.069	.111	.160	.205	.238	.251	.238	.200	.146	.088	.040	.011	.001
	7	.000	.000	.000	.000	.001	.003	.009	.021	.042	.075	.117	.166	.215	.252	.267	.250	.201	.130	.057	.010
	8	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.001	.004	.011	.023	.044	.076	.121	.176	.233	.282	.302	.276	.194	.075
	9	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.002	.004	.010	.021	.040	.072	.121	.188	.268	.347	.387	.315
	10	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.001	.003	.006	.014	.028	.056	.107	.197	.349	.599

n = 11

	p	.01	.05	.10	.15	.20	.25	.30	.35	.40	.45	.50	.55	.60	.65	.70	.75	.80	.85	.90	.95
r	0	.895	.569	.314	.167	.086	.042	.020	.009	.004	.001	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000
	1	.099	.329	.384	.325	.236	.155	.093	.052	.027	.013	.005	.002	.001	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000
	2	.005	.087	.213	.287	.295	.258	.200	.140	.089	.051	.027	.013	.005	.002	.001	.000	.000	.000	.000	.000
	3	.000	.014	.071	.152	.221	.258	.257	.225	.177	.126	.081	.046	.023	.010	.004	.001	.000	.000	.000	.000
	4	.000	.001	.016	.054	.111	.172	.220	.243	.236	.206	.161	.113	.070	.038	.017	.006	.002	.000	.000	.000
	5	.000	.000	.002	.013	.039	.080	.132	.183	.221	.236	.226	.193	.147	.099	.057	.027	.010	.002	.000	.000
	6	.000	.000	.000	.002	.010	.027	.057	.099	.147	.193	.226	.236	.221	.183	.132	.080	.039	.013	.002	.000
	7	.000	.000	.000	.000	.002	.006	.017	.038	.070	.113	.161	.206	.236	.243	.220	.172	.111	.054	.016	.001
	8	.000	.000	.000	.000	.000	.001	.004	.010	.023	.046	.081	.126	.177	.225	.257	.258	.221	.152	.071	.014
	9	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.001	.002	.005	.013	.027	.051	.089	.140	.200	.258	.295	.287	.213	.087
	10	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.001	.002	.005	.013	.027	.052	.093	.155	.236	.325	.384	.329
	11	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.000	.001	.004	.009	.020	.042	.086	.167	.314	.569

Wetenschap