De geschiedenis van Algebra

Verschillende afleidingen van het woord 'algebra', dat van Arabische oorsprong is, zijn door verschillende schrijvers gegeven. De eerste vermelding van het woord is te vinden in de titel van een werk van Mahommed ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), die floreerde rond het begin van de 9e eeuw. De volledige titel is ilm al-jebr wa'l-muqabala, die de ideeën van teruggave en vergelijking, of oppositie en vergelijking, of resolutie en vergelijking bevat, jebr afgeleid zijn van het werkwoord Jabara, herenigen, en muqabala, van Gabala, gelijk maken. (De wortel Jabara wordt ook in het woord ontmoet algebrista, wat een 'bottenzetter' betekent en nog steeds algemeen wordt gebruikt in Spanje.) Dezelfde afleiding wordt gegeven door Lucas Paciolus (Luca Pacioli), die de uitdrukking in de getranscribeerde vorm reproduceert alghebra e almucabala, en schrijft de uitvinding van de kunst toe aan de Arabieren.

Andere schrijvers hebben het woord afgeleid van het Arabische deeltje al (het lidwoord), en gerber, wat "man" betekent. Aangezien Geber echter toevallig de naam was van een gevierde Moorse filosoof die floreerde in ongeveer de 11e of 12e eeuw, wordt verondersteld dat hij de oprichter was van de algebra, die sindsdien zijn naam heeft bestendigd. Het bewijs van Peter Ramus (1515-1572) op dit punt is interessant, maar hij geeft geen autoriteit voor zijn enkelvoudige uitspraken. In het voorwoord van hem Arithmeticae libri duo et totidem Algebrae (1560) hij zegt: "De naam Algebra is Syrisch, wat de kunst of de leer van een uitstekende man betekent. Want Geber, in Syrisch, is een naam die op mannen wordt toegepast, en is soms een eretermijn, als meester of dokter onder ons Er was een zekere geleerde wiskundige die zijn algebra, geschreven in de Syrische taal, naar Alexander de Grote stuurde, en hij noemde het almucabala, dat wil zeggen het boek van duistere of mysterieuze dingen, die anderen liever de leer van de algebra noemen. Tot op de dag van vandaag wordt hetzelfde boek in grote waardering onder de geleerden in de oosterse landen, en door de Indianen, die deze kunst cultiveren, wordt het genoemd aljabra en Alboret; hoewel de naam van de auteur zelf niet bekend is. "De onzekere autoriteit van deze verklaringen en de plausibiliteit van de voorgaande verklaring hebben ertoe geleid dat filologen de afleiding van al en Jabara. Robert Recorde in de zijne Wetsteen van Witte (1557) gebruikt de variant algeber, terwijl John Dee (1527-1608) dat bevestigt algiebar, en niet algebra, is de juiste vorm en doet een beroep op de autoriteit van de Arabische Avicenna.

Hoewel de term "algebra" nu in universeel gebruik is, werden verschillende andere benamingen gebruikt door de Italiaanse wiskundigen tijdens de Renaissance. We zien dus dat Paciolus het noemt l'Arte Magiore; ditta dal vulgo la Regula de la Cosa over Alghebra e Almucabala. De naam l'arte magiore, de grotere kunst, is ontworpen om het te onderscheiden van l'arte minore, de mindere kunst, een term die hij toepaste op het moderne rekenen. Zijn tweede variant, la regula de la cosa, de regel van het ding of de onbekende hoeveelheid, lijkt algemeen in Italië te zijn gebruikt, en het woord cosa werd gedurende verschillende eeuwen bewaard in de vormen coss of algebra, cossic of algebraic, cossist of algebraist, & c. Andere Italiaanse schrijvers noemden het de Regula rei et census, de regel van het ding en het product, of de wortel en het vierkant. Het principe dat aan deze uitdrukking ten grondslag ligt, is waarschijnlijk te vinden in het feit dat het de grenzen van hun prestaties in algebra mat, want ze waren niet in staat vergelijkingen van een hogere graad op te lossen dan het kwadratische of kwadraat.

Franciscus Vieta (Francois Viete) noemde het Specious Rekenkunde, vanwege de soort van de betrokken hoeveelheden, die hij symbolisch vertegenwoordigd door de verschillende letters van het alfabet. Sir Isaac Newton introduceerde de term Universeel rekenen, omdat het gaat om de doctrine van operaties, niet beïnvloed door cijfers, maar over algemene symbolen.

Ondanks deze en andere idiosyncratische benamingen hebben Europese wiskundigen zich aan de oudere naam gehecht, waardoor het onderwerp nu universeel bekend is.

Vervolg op pagina twee.

Dit document maakt deel uit van een artikel over Algebra uit de 1911-editie van een encyclopedie, waarop in de VS geen auteursrechten rusten. Het artikel is openbaar en u mag dit werk naar eigen inzicht kopiëren, downloaden, afdrukken en verspreiden..

Er is alles aan gedaan om deze tekst nauwkeurig en netjes weer te geven, maar er worden geen garanties gegeven tegen fouten. Melissa Snell noch About kunnen aansprakelijk worden gesteld voor problemen die u ondervindt met de tekstversie of met een elektronische vorm van dit document.

Het is moeilijk om de uitvinding van kunst of wetenschap definitief toe te wijzen aan een bepaalde leeftijd of ras. De weinige fragmentarische archieven die ons uit vroegere beschavingen zijn overgeleverd, moeten niet worden beschouwd als het geheel van hun kennis, en het weglaten van een wetenschap of kunst betekent niet noodzakelijk dat de wetenschap of kunst onbekend was. Vroeger was het de gewoonte om de uitvinding van de algebra toe te wijzen aan de Grieken, maar sinds de ontcijfering van de Rhind papyrus door Eisenlohr is dit beeld veranderd, want in dit werk zijn er duidelijke tekenen van een algebraïsche analyse. Het specifieke probleem --- een hoop (hau) en zijn zevende maakt 19 --- is opgelost omdat we nu een eenvoudige vergelijking moeten oplossen; maar Ahmes varieert zijn methoden in andere soortgelijke problemen. Deze ontdekking draagt de uitvinding van algebra terug tot ongeveer 1700 v.Chr., Zo niet eerder.

Het is waarschijnlijk dat de algebra van de Egyptenaren van het meest rudimentaire karakter was, want anders zouden we verwachten er sporen van te vinden in de werken van de Griekse eeometers. van wie Thales of Miletus (640-546 v.Chr.) de eerste was. Ondanks de prolixiteit van schrijvers en het aantal geschriften, zijn alle pogingen om een algebraïsche analyse uit hun geometrische stellingen en problemen te extraheren vruchteloos, en algemeen wordt erkend dat hun analyse geometrisch was en weinig of geen affiniteit met algebra had. Het eerste bestaande werk dat een verhandeling over algebra benadert, is van Diophantus (qv), een wiskundige uit Alexandrië, die floreerde rond 350 n.Chr. Het origineel, dat bestond uit een voorwoord en dertien boeken, is nu verloren, maar we hebben een Latijnse vertaling van de eerste zes boeken en een fragment van een ander over veelhoekige getallen door Xylander uit Augsburg (1575), en Latijnse en Griekse vertalingen door Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670). Andere edities zijn gepubliceerd, waarvan we Pierre Fermat's (1670), T.L. Heath's (1885) en P. Tannery's (1893-1895) kunnen noemen. In het voorwoord van dit werk, dat is gewijd aan één Dionysius, legt Diophantus zijn notatie uit, waarbij hij het vierkant, de kubus en de vierde machten, dynamis, cubus, dynamodinimus, enzovoort noemt, volgens de som in de indexen. Het onbekende noemt hij arithmos, het nummer, en in oplossingen markeert hij het door de laatste s; hij legt het genereren van machten, de regels voor vermenigvuldiging en deling van eenvoudige grootheden uit, maar hij behandelt niet het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van samengestelde grootheden. Vervolgens bespreekt hij verschillende kunstvoorwerpen voor de vereenvoudiging van vergelijkingen en geeft hij methoden die nog steeds algemeen worden gebruikt. In de kern van het werk toont hij aanzienlijke vindingrijkheid in het reduceren van zijn problemen tot eenvoudige vergelijkingen, die ofwel een directe oplossing toelaten, of in de klasse vallen die bekend staat als onbepaalde vergelijkingen. Deze laatste klasse besprak hij zo ijverig dat ze vaak bekend staan als Diophantine-problemen, en de methoden om ze op te lossen als de Diophantine-analyse (zie EQUATION, onbepaald.) Het is moeilijk te geloven dat dit werk van Diophantus spontaan ontstond in een periode van algemene stagnatie. Het is meer dan waarschijnlijk dat hij dank verschuldigd was aan eerdere schrijvers, die hij verzuimt te vermelden, en wiens werken nu verloren zijn gegaan; niettemin, maar voor dit werk moeten we ertoe worden gebracht aan te nemen dat algebra bijna, zo niet volledig, onbekend was voor de Grieken.

De Romeinen, die de Grieken opvolgden als de belangrijkste geciviliseerde macht in Europa, slaagden er niet in om hun literaire en wetenschappelijke schatten te bewaren; wiskunde was vrijwel verwaarloosd; en afgezien van enkele verbeteringen in rekenkundige berekeningen, zijn er geen materiële vorderingen te registreren.

In de chronologische ontwikkeling van ons onderwerp moeten we ons nu richten op het oosten. Onderzoek van de geschriften van Indiase wiskundigen heeft een fundamenteel onderscheid aangetoond tussen de Griekse en Indiase geest, waarbij de eerste bij uitstek geometrisch en speculatief is, de laatste rekenkundig en vooral praktisch. We zien dat geometrie werd verwaarloosd, behalve voor zover het de astronomie diende; trigonometrie was vergevorderd, en algebra verbeterde tot ver buiten het bereik van Diophantus.

Vervolg op pagina drie.

De eerste Indiase wiskundige van wie we bepaalde kennis hebben, is Aryabhatta, die floreerde rond het begin van de 6e eeuw van onze jaartelling. De bekendheid van deze astronoom en wiskundige berust op zijn werk, de Aryabhattiyam, waarvan het derde hoofdstuk is gewijd aan wiskunde. Ganessa, een eminent astronoom, wiskundige en scholiast van Bhaskara, citeert dit werk en maakt afzonderlijk melding van de cuttaca ("verpulveraar"), een apparaat voor het bewerkstelligen van de oplossing van onbepaalde vergelijkingen. Henry Thomas Colebrooke, een van de vroegste moderne onderzoekers van de hindoe-wetenschap, veronderstelt dat de verhandeling van Aryabhatta zich uitstrekte tot het bepalen van kwadratische vergelijkingen, onbepaalde vergelijkingen van de eerste graad, en waarschijnlijk van de tweede. Een astronomisch werk, genaamd de Surya siddhanta ('kennis van de zon'), van onzeker auteurschap en waarschijnlijk behorend tot de 4e of 5e eeuw, werd door de hindoes als een grote verdienste beschouwd, die het slechts tweede rangschikte ten opzichte van het werk van Brahmagupta, dat ongeveer een eeuw later floreerde. Het is van groot belang voor de historische student, want het vertoont de invloed van de Griekse wetenschap op de Indiase wiskunde in een periode voorafgaand aan Aryabhatta. Na een interval van ongeveer een eeuw, waarin de wiskunde haar hoogste niveau bereikte, bloeide er Brahmagupta (b. A.D. 598), wiens werk Brahma-sphuta-siddhanta ('Het herziene systeem van Brahma') verschillende hoofdstukken gewijd aan wiskunde bevat. Van andere Indiase schrijvers kan melding worden gemaakt van Cridhara, de auteur van een Ganita-sara ("Quintessence of Calculation"), en Padmanabha, de auteur van een algebra.

Een periode van wiskundige stagnatie lijkt dan de Indiase geest een aantal eeuwen in bezit te hebben gehad, want de werken van de volgende auteur van elk moment staan maar weinig voor op Brahmagupta. We verwijzen naar Bhaskara Acarya, wiens werk de Siddhanta-ciromani ("Diadeem van anastronomisch systeem"), geschreven in 1150, bevat twee belangrijke hoofdstukken, de Lilavati ("de mooie [wetenschap of kunst]") en Viga-ganita ("wortel-extractie"), die worden gegeven aan rekenkundige en algebra.

Engelse vertalingen van de wiskundige hoofdstukken van de Brahma-siddhanta en Siddhanta-ciromani door H. T. Colebrooke (1817), en van de Surya siddhanta door E. Burgess, met aantekeningen van W. D. Whitney (1860), kunnen worden geraadpleegd voor meer informatie.

De vraag of de Grieken hun algebra van de hindoes hebben geleend of vice versa is onderwerp van veel discussie geweest. Er is geen twijfel dat er een constant verkeer was tussen Griekenland en India, en het is meer dan waarschijnlijk dat een uitwisseling van producten gepaard zou gaan met een overdracht van ideeën. Moritz Cantor vermoedt de invloed van Diophantine-methoden, met name in de Hindoe-oplossingen van onbepaalde vergelijkingen, waar bepaalde technische termen naar alle waarschijnlijkheid van Griekse oorsprong zijn. Hoe dit ook moge zijn, het is zeker dat de hindoe-algebraïsten ver vooruit waren op Diophantus. De tekortkomingen van de Griekse symboliek werden gedeeltelijk verholpen; aftrekken werd aangegeven door een stip op de aftrekking te plaatsen; vermenigvuldiging, door bha (een afkorting van bhavita, het "product") achter de feiten te plaatsen; verdeling, door de deler onder het dividend te plaatsen; en vierkantswortel, door ka (een afkorting van karana, irrationeel) in te voegen vóór de hoeveelheid. Het onbekende heette yavattavat, en als er meerdere waren, namen de eerste deze benaming en de anderen werden aangeduid met de namen van kleuren; x werd bijvoorbeeld aangeduid door ya en y door ka (van kalaka, zwart).

Vervolg op pagina vier.

Een opmerkelijke verbetering van de ideeën van Diophantus is te vinden in het feit dat de hindoes het bestaan van twee wortels van een kwadratische vergelijking erkenden, maar de negatieve wortels werden als onvoldoende beschouwd, omdat er geen interpretatie voor kon worden gevonden. Er wordt ook verondersteld dat ze anticipeerden op ontdekkingen van de oplossingen van hogere vergelijkingen. Er zijn grote vorderingen gemaakt in de studie van onbepaalde vergelijkingen, een tak van analyse waarin Diophantus uitblonk. Maar terwijl Diophantus gericht was op het verkrijgen van een enkele oplossing, streefden de Hindoes naar een algemene methode waarmee elk onbepaald probleem kon worden opgelost. Hierin waren ze volledig succesvol, want ze verkregen algemene oplossingen voor de vergelijkingen ax (+ of -) door = c, xy = ax + door + c (sinds herontdekt door Leonhard Euler) en cy2 = ax2 + b. Een specifiek geval van de laatste vergelijking, namelijk y2 = ax2 + 1, heeft de middelen van moderne algebraisten zwaar belast. Het werd voorgesteld door Pierre de Fermat aan Bernhard Frenicle de Bessy en in 1657 aan alle wiskundigen. John Wallis en Lord Brounker verkregen gezamenlijk een saaie oplossing die in 1658 werd gepubliceerd, en daarna in 1668 door John Pell in zijn Algebra. Een oplossing werd ook gegeven door Fermat in zijn relatie. Hoewel Pell niets met de oplossing te maken had, heeft het nageslacht de vergelijking Pell's Vergelijking of Probleem genoemd, terwijl het terecht het Hindoe-Probleem zou moeten zijn, als erkenning van de wiskundige verworvenheden van de Brahmanen.

Hermann Hankel heeft gewezen op de bereidheid waarmee de hindoes van getal naar omvang gingen en vice versa. Hoewel deze overgang van discontinu naar continu niet echt wetenschappelijk is, heeft het toch de ontwikkeling van algebra aanzienlijk vergroot, en Hankel bevestigt dat als we algebra definiëren als de toepassing van rekenkundige bewerkingen op zowel rationele als irrationele getallen of grootten, de Brahmanen de echte uitvinders van algebra.

De integratie van de verspreide stammen van Arabië in de 7e eeuw door de aangrijpende religieuze propaganda van Mahomet ging gepaard met een snelle opkomst van de intellectuele krachten van een tot nu toe obscuur ras. De Arabieren werden de bewaarders van de Indiase en Griekse wetenschap, terwijl Europa werd gescheurd door interne verdeeldheid. Onder het bewind van de Abbasiden werd Bagdad het centrum van wetenschappelijk denken; artsen en astronomen uit India en Syrië stroomden naar hun hof; Griekse en Indiase manuscripten werden vertaald (een werk begonnen door de kalief Mamun (813-833) en bekwaam voortgezet door zijn opvolgers); en in ongeveer een eeuw werden de Arabieren in het bezit gebracht van de enorme voorraden Grieks en Indisch leren. De elementen van Euclid werden voor het eerst vertaald in het bewind van Harun-al-Rashid (786-809) en herzien in de volgorde van Mamun. Maar deze vertalingen werden als onvolmaakt beschouwd en het bleef voor Tobit ben Korra (836-901) om een bevredigende uitgave te produceren. Ptolemaeus ' Almagest, de werken van Apollonius, Archimedes, Diophantus en delen van de Brahmasiddhanta werden ook vertaald. De eerste opmerkelijke Arabische wiskundige was Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, die floreerde tijdens het bewind van Mamun. Zijn verhandeling over algebra en rekenen (waarvan het laatste deel alleen bestaat in de vorm van een Latijnse vertaling, ontdekt in 1857) bevat niets dat onbekend was voor de Grieken en Hindoes; het vertoont methoden verbonden aan die van beide rassen, waarbij het Griekse element overheerst. Het gedeelte gewijd aan algebra heeft de titel al-jeur wa'lmuqabala, en de rekenkunde begint met 'Gesproken heeft Algoritmi', de naam Khwarizmi of Hovarezmi is overgegaan in het woord Algoritmi, dat verder is omgezet in de modernere woorden algoritme en algoritme, wat een manier van berekenen betekent.

Vervolg op pagina vijf.

Tobit ben Korra (836-901), geboren in Harran in Mesopotamië, een volleerd taalkundige, wiskundige en astronoom, verrichtte opvallende service door zijn vertalingen van verschillende Griekse auteurs. Zijn onderzoek naar de eigenschappen van minnelijke getallen (q.v.) en naar het probleem van het bepalen van een hoek, is van belang. De Arabieren leken meer op de hindoes dan de Grieken bij de keuze van studies; hun filosofen mengden speculatieve proefschriften met de meer progressieve studie van de geneeskunde; hun wiskundigen verwaarloosden de subtiliteiten van de kegelsnedes en Diophantine-analyse, en pasten zich meer in het bijzonder toe om het systeem van cijfers (zie NUMERAL), rekenkunde en astronomie (qv ...) te perfectioneren. talenten van het ras werden geschonken aan astronomie en trigonometrie (qv ...) Fahri des al Karbi, die floreerde rond het begin van de 11e eeuw, is de auteur van het belangrijkste Arabische werk over algebra. Hij volgt de methoden van Diophantus; zijn werk aan onbepaalde vergelijkingen lijkt niet op de Indiase methoden en bevat niets dat niet uit Diophantus kan worden gehaald. Hij lost kwadratische vergelijkingen zowel geometrisch als algebraïsch op, en ook vergelijkingen van de vorm x2n + axn + b = 0; hij bewees ook bepaalde relaties tussen de som van de eerste n natuurlijke getallen en de bedragen van hun vierkanten en kubussen.

Kubieke vergelijkingen werden geometrisch opgelost door de snijpunten van kegelsneden te bepalen. Het probleem van Archimedes om een bol door een vlak te verdelen in twee segmenten met een voorgeschreven verhouding, werd eerst uitgedrukt als een kubieke vergelijking door Al Mahani, en de eerste oplossing werd gegeven door Abu Gafar al Hazin. De bepaling van de zijde van een reguliere zevenhoek die kan worden ingeschreven of omschreven in een bepaalde cirkel werd gereduceerd tot een meer gecompliceerde vergelijking die eerst met succes werd opgelost door Abul Gud. De methode om geometrisch vergelijkingen op te lossen werd aanzienlijk ontwikkeld door Omar Khayyam van Khorassan, die floreerde in de 11e eeuw. Deze auteur betwijfelde de mogelijkheid om kubieken op te lossen door pure algebra en biquadratics door geometrie. Zijn eerste bewering werd niet weerlegd tot de 15e eeuw, maar zijn tweede werd afgewezen door Abul Weta (940-908), die erin slaagde de vormen x4 = a en x4 + ax3 = b op te lossen.

Hoewel de fundamenten van de geometrische resolutie van kubieke vergelijkingen moeten worden toegeschreven aan de Grieken (want Eutocius kent Menaechmus twee methoden toe om de vergelijking x3 = a en x3 = 2a3 op te lossen), moet de daaropvolgende ontwikkeling door de Arabieren echter als één worden beschouwd van hun belangrijkste prestaties. De Grieken waren erin geslaagd een geïsoleerd voorbeeld op te lossen; de Arabieren bereikten de algemene oplossing van numerieke vergelijkingen.

Er is veel aandacht besteed aan de verschillende stijlen waarin de Arabische auteurs hun onderwerp hebben behandeld. Moritz Cantor heeft gesuggereerd dat er ooit twee scholen bestonden, één met sympathie voor de Grieken, de andere met de hindoes; en dat, hoewel de geschriften van laatstgenoemden eerst werden bestudeerd, ze snel werden weggegooid voor de meer opvallende Griekse methoden, zodat onder de latere Arabische schrijvers de Indiase methoden praktisch werden vergeten en hun wiskunde in wezen Grieks van karakter werd.

Zich wendend tot de Arabieren in het Westen vinden we dezelfde verlichte geest; Cordova, de hoofdstad van het Moorse rijk in Spanje, was evenzeer een leercentrum als Bagdad. De vroegst bekende Spaanse wiskundige is Al Madshritti (ca. 1007), wiens bekendheid berust op een proefschrift over minnelijke cijfers en op de scholen die door zijn leerlingen in Cordoya, Dama en Granada zijn gesticht. Gabir ben Allah van Sevilla, gewoonlijk Geber genoemd, was een gevierde astronoom en blijkbaar bedreven in algebra, want er wordt verondersteld dat het woord "algebra" is samengesteld uit zijn naam.

Toen het Moorse rijk begon af te nemen van de briljante intellectuele geschenken die ze gedurende drie of vier eeuwen zo overvloedig hadden gevoed, werden ze verzwakt en na die periode slaagden ze er niet in om een auteur te produceren die vergelijkbaar was met die van de 7e tot de 11e eeuw.

Vervolg op pagina zes.

Geesteswetenschappen