De betekenis van wederzijds exclusief in de statistiek

Waarschijnlijk zouden twee evenementen elkaar uitsluiten als en alleen als de evenementen geen gedeelde uitkomsten hebben. Als we de gebeurtenissen als sets beschouwen, zouden we zeggen dat twee gebeurtenissen elkaar uitsluiten wanneer hun kruising de lege reeks is. We zouden die gebeurtenissen kunnen aangeven EEN en B sluiten elkaar uit door de formule EEN ∩ B = Ø. Zoals met veel waarschijnlijkheidsconcepten, zullen enkele voorbeelden helpen om deze definitie te begrijpen.

Rollende dobbelstenen

Stel dat we twee zeszijdige dobbelstenen gooien en het aantal stippen toevoegen dat bovenop de dobbelstenen wordt weergegeven. Het evenement dat bestaat uit "de som is even" sluit elkaar uit van het evenement "de som is oneven". De reden hiervoor is dat een nummer niet even en oneven kan zijn.

Nu zullen we hetzelfde waarschijnlijkheidsexperiment uitvoeren om twee dobbelstenen te gooien en de getallen bij elkaar op te tellen. Deze keer beschouwen we de gebeurtenis bestaande uit een oneven som en de gebeurtenis bestaande uit een som groter dan negen. Deze twee evenementen sluiten elkaar niet uit.

De reden waarom is duidelijk wanneer we de resultaten van de gebeurtenissen onderzoeken. Het eerste evenement heeft uitkomsten van 3, 5, 7, 9 en 11. Het tweede evenement heeft uitkomsten van 10, 11 en 12. Aangezien 11 in beide gevallen is, sluiten de evenementen elkaar niet uit.

Kaarten trekken

We illustreren verder met een ander voorbeeld. Stel dat we een kaart trekken uit een standaard kaartspel van 52 kaarten. Een hart tekenen is niet wederzijds exclusief voor het tekenen van een koning. Dit komt omdat er een kaart (de hartenhart) in beide evenementen verschijnt.

Waarom maakt het uit

Er zijn momenten waarop het heel belangrijk is om te bepalen of twee evenementen elkaar uitsluiten of niet. Weten of twee gebeurtenissen elkaar uitsluiten, beïnvloedt de berekening van de waarschijnlijkheid dat de ene of de andere optreedt.

Ga terug naar het kaartvoorbeeld. Als we één kaart trekken uit een standaard kaartspel van 52, wat is dan de kans dat we een hart of een koning hebben getrokken?

Breek dit eerst in afzonderlijke gebeurtenissen. Om de kans te vinden dat we een hart hebben getrokken, tellen we eerst het aantal harten in het spel als 13 en delen we dit door het totale aantal kaarten. Dit betekent dat de kans op een hart 13/52 is.

Om de kans te vinden dat we een koning hebben getrokken, beginnen we met het tellen van het totale aantal koningen, resulterend in vier, en delen we vervolgens door het totale aantal kaarten, dat 52 is. De kans dat we een koning hebben getrokken is 4/52.

Het probleem is nu om de kans te vinden om een ​​koning of een hart te trekken. Hier moeten we voorzichtig zijn. Het is erg verleidelijk om de waarschijnlijkheden van 13/52 en 4/52 eenvoudig bij elkaar op te tellen. Dit zou niet juist zijn omdat de twee evenementen elkaar niet uitsluiten. De hartenkoning is in deze kansen twee keer geteld. Om het dubbeltellen tegen te gaan, moeten we de waarschijnlijkheid aftrekken om een ​​koning en een hart te trekken, dat is 1/52. Daarom is de kans dat we een koning of een hart hebben getrokken 16/52.

Ander gebruik van wederzijds exclusief

Een formule die bekend staat als de toevoegingsregel, biedt een alternatieve manier om een ​​probleem zoals het bovenstaande op te lossen. De toevoegingsregel verwijst eigenlijk naar een paar formules die nauw aan elkaar verwant zijn. We moeten weten of onze evenementen elkaar uitsluiten om te weten welke aanvullende formule geschikt is om te gebruiken.