Waarom is nulfactor gelijk aan één?

Een nul-faculteit is een wiskundige uitdrukking voor het aantal manieren om een ​​gegevensset zonder waarden erin te rangschikken, die gelijk is aan één. In het algemeen is de faculteit van een getal een korte manier om een ​​vermenigvuldigingsexpressie te schrijven waarbij het getal wordt vermenigvuldigd met elk getal kleiner dan maar groter dan nul. 4! = 24 is bijvoorbeeld hetzelfde als het schrijven van 4 x 3 x 2 x 1 = 24, waarbij men een uitroepteken rechts van het factor getal (vier) gebruikt om dezelfde vergelijking uit te drukken.

Het is vrij duidelijk uit deze voorbeelden hoe de faculteit van elk geheel getal groter dan of gelijk aan één te berekenen is, maar waarom is de waarde van nul faculteit één ondanks de wiskundige regel dat alles vermenigvuldigd met nul gelijk is aan nul? 

De definitie van de faculteit stelt dat 0! = 1. Dit verwart mensen meestal de eerste keer dat ze deze vergelijking zien, maar we zullen in de onderstaande voorbeelden zien waarom dit zinvol is als je kijkt naar de definitie, permutaties van en formules voor de nul-factor.

De definitie van een nulfactor

De eerste reden waarom nulfactoriaal gelijk is aan één is omdat dit is wat de definitie zegt dat het zou moeten zijn, wat een wiskundig correcte uitleg is, zo niet een enigszins onbevredigende. Toch moet men onthouden dat de definitie van een faculteit het product is van alle gehele getallen die gelijk zijn aan of minder zijn in waarde dan het oorspronkelijke getal - met andere woorden, het is een faculteit is het aantal mogelijke combinaties met getallen kleiner dan of gelijk aan dat getal.

Omdat nul geen lagere getallen heeft, maar op zichzelf nog een getal is, is er nog maar een mogelijke combinatie van hoe die gegevensset kan worden gerangschikt: dat kan het niet. Dit geldt nog steeds als een manier om het te ordenen, dus per definitie is een nul-faculteit gelijk aan één, net als 1! is gelijk aan één omdat er slechts één mogelijke opstelling van deze gegevensset is.

Voor een beter begrip van hoe dit wiskundig zinvol is, is het belangrijk op te merken dat dergelijke faculteiten worden gebruikt om mogelijke orden van informatie in een reeks te bepalen, ook bekend als permutaties, wat handig kan zijn om te begrijpen dat hoewel er geen waarden zijn in een lege of nulset, er is nog een manier waarop de set is gerangschikt. 

Permutaties en factoren

Een permutatie is een specifieke, unieke volgorde van elementen in een set. Er zijn bijvoorbeeld zes permutaties van de set 1, 2, 3, die drie elementen bevat, omdat we deze elementen op de volgende zes manieren kunnen schrijven:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

We kunnen dit feit ook vermelden door de vergelijking 3! = 6, dat is een facultaire weergave van de volledige reeks permutaties. Op een vergelijkbare manier zijn er 4! = 24 permutaties van een set met vier elementen en 5! = 120 permutaties van een set met vijf elementen. Dus een alternatieve manier om na te denken over de faculteit is te laten n wees een natuurlijk getal en zeg dat n! is het aantal permutaties voor een set met n elementen.

Laten we met deze manier van denken over de faculteit nog een paar voorbeelden bekijken. Een set met twee elementen heeft twee permutaties: a, b kan worden gerangschikt als a, b of als b, a. Dit komt overeen met 2! = 2. Een set met één element heeft één permutatie, omdat element 1 in set 1 maar op één manier kan worden besteld.

Dit brengt ons tot nul-faculteit. De set met nul elementen wordt de lege set genoemd. Om de waarde van nul-faculteit te vinden, vragen we: "Hoeveel manieren kunnen we een set zonder elementen bestellen?" Hier moeten we ons denken een beetje oprekken. Hoewel er niets in een bestelling kan worden geplaatst, is er een manier om dit te doen. Dus we hebben die 0! = 1.

Formules en andere validaties

Nog een reden voor de definitie van 0! = 1 heeft te maken met de formules die we gebruiken voor permutaties en combinaties. Dit verklaart niet waarom nulfactor één is, maar het toont wel waarom instelling 0! = 1 is een goed idee.

Een combinatie is een groep elementen van een set zonder acht te slaan op orde. Beschouw bijvoorbeeld de set 1, 2, 3, waarin er één combinatie bestaat die alle drie elementen bevat. Welke volgorde we deze elementen ook rangschikken, we eindigen met dezelfde combinatie.

We gebruiken de formule voor combinaties, waarbij de combinatie van drie elementen drie tegelijk wordt genomen en zien dat 1 = C (3, 3) = 3! / (3! 0!) En als we 0 behandelen! als een onbekende hoeveelheid en oplossen algebraïsch, we zien dat 3! 0! = 3! en zo 0! = 1.

Er zijn nog andere redenen waarom de definitie van 0! = 1 is correct, maar de redenen hierboven zijn de meest voor de hand liggende. Het algemene idee in wiskunde is dat wanneer nieuwe ideeën en definities worden geconstrueerd, deze consistent blijven met andere wiskunde, en dit is precies wat we zien in de definitie van nulfactoriaal is gelijk aan één.