Wat is de paradox van St. Petersburg?

Je bent in de straten van St. Petersburg, Rusland, en een oude man stelt het volgende spel voor. Hij gooit een munt om (en leent er een van jou als je niet vertrouwt dat hij een eerlijke is). Als het staarten landt, verlies je en is het spel afgelopen. Als de munt omhoog gaat, win je één roebel en gaat het spel verder. De munt wordt opnieuw gegooid. Als het staarten zijn, eindigt het spel. Als het koppen zijn, win je nog twee roebel. Het spel gaat op deze manier verder. Voor elke opeenvolgende kop verdubbelen we onze winst uit de vorige ronde, maar bij het teken van de eerste staart is het spel klaar.

Hoeveel zou je betalen om dit spel te spelen? Wanneer we de verwachte waarde van dit spel beschouwen, moet je de kans wagen, ongeacht de kosten om te spelen. Uit de bovenstaande beschrijving zou u echter waarschijnlijk niet veel willen betalen. Er is immers een kans van 50% om niets te winnen. Dit is wat bekend staat als de St. Petersburg Paradox, genoemd naar de publicatie uit 1738 van Daniel Bernoulli Commentaren van de keizerlijke Academie voor Wetenschappen van Sint-Petersburg.

Enkele waarschijnlijkheden

Laten we beginnen met het berekenen van kansen die aan dit spel zijn gekoppeld. De kans dat een eerlijke munt heads-up landt is 1/2. Elke toss is een onafhankelijke gebeurtenis en dus vermenigvuldigen we waarschijnlijkheden met behulp van een boomdiagram.

• De waarschijnlijkheid van twee koppen op een rij is (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• De waarschijnlijkheid van drie koppen op een rij is (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Om de waarschijnlijkheid van uit te drukken n hoofden op een rij, waar n is een positief geheel getal dat we exponenten gebruiken om 1/2 te schrijvenⁿ.

Enkele uitbetalingen

Laten we nu verder gaan en kijken of we kunnen generaliseren wat de winst in elke ronde zou zijn.

• Als je een hoofd hebt in de eerste ronde, win je één roebel voor die ronde.
• Als er een kop is in de tweede ronde, win je twee roebels in die ronde.
• Als er een kop is in de derde ronde, dan win je vier roebel in die ronde.
• Als je het geluk hebt gehad om helemaal naar de n^th ronde, dan win je 2^n-1 roebel in die ronde.

Verwachte waarde van het spel

De verwachte waarde van een spel vertelt ons wat de winst zou zijn als je het spel vele, vele keren speelde. Om de verwachte waarde te berekenen, vermenigvuldigen we de waarde van de winst uit elke ronde met de kans om naar deze ronde te gaan en voegen we al deze producten samen.

• Vanaf de eerste ronde heb je kans 1/2 en winst van 1 roebel: 1/2 x 1 = 1/2
• Vanaf de tweede ronde heb je waarschijnlijk 1/4 en een winst van 2 roebel: 1/4 x 2 = 1/2
• Vanaf de eerste ronde heb je waarschijnlijk 1/8 en een winst van 4 roebel: 1/8 x 4 = 1/2
• Vanaf de eerste ronde heb je waarschijnlijk 1/16 en een winst van 8 roebel: 1/16 x 8 = 1/2
• Vanaf de eerste ronde heb je kans 1/2ⁿ en winsten van 2^n-1 roebel: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

De waarde van elke ronde is 1/2 en de resultaten van de eerste worden opgeteld n rondes samen geeft ons een verwachte waarde van n/ 2 roebel. Sinds n kan elk positief geheel getal zijn, de verwachte waarde is onbeperkt.

De paradox

Dus wat moet je betalen om te spelen? Een roebel, duizend roebel of zelfs een miljard roebel zou op de lange termijn allemaal minder zijn dan de verwachte waarde. Ondanks de bovenstaande berekening die ongekende rijkdom belooft, zouden we allemaal nog steeds terughoudend zijn om veel te betalen om te spelen.

Er zijn talloze manieren om de paradox op te lossen. Een van de eenvoudigere manieren is dat niemand een spel zoals hierboven beschreven zou aanbieden. Niemand heeft de oneindige middelen die nodig zouden zijn om iemand te betalen die de kop bleef trekken.

Een andere manier om de paradox op te lossen, is erop wijzen hoe onwaarschijnlijk het is om ongeveer 20 koppen achter elkaar te krijgen. De kans dat dit gebeurt is beter dan het winnen van de meeste staatsloterijen. Mensen spelen routinematig dergelijke loterijen voor vijf dollar of minder. Dus de prijs om het spel St. Petersburg te spelen, zal waarschijnlijk niet meer dan een paar dollar bedragen.

Als de man in St. Petersburg zegt dat het iets meer dan een paar roebels kost om zijn spel te spelen, moet je beleefd weigeren en weglopen. Roebels zijn sowieso niet veel waard.