Wat is het vermogen ingesteld?

Een vraag in de settheorie is of een set een subset is van een andere set. Een subset van EEN is een set die wordt gevormd door enkele elementen uit de set te gebruiken EEN. Om B om een subset van te zijn EEN, elk element van B moet ook een element zijn van EEN.

Elke set heeft verschillende subsets. Soms is het wenselijk om alle mogelijke subsets te kennen. Een constructie die bekend staat als de power set helpt bij dit streven. De vermogensset van de set EEN is een set met elementen die ook sets zijn. Deze vermogensset wordt gevormd door alle subsets van een bepaalde set op te nemen EEN.

voorbeeld 1

We zullen twee voorbeelden van power sets beschouwen. Ten eerste, als we met de set beginnen EEN = 1, 2, 3, wat is dan het ingestelde vermogen? We gaan door met een lijst van alle subsets van EEN.

De lege set is een subset van EEN. De lege set is inderdaad een subset van elke set. Dit is de enige subset zonder elementen van EEN.
De sets 1, 2, 3 zijn de enige subsets van EEN met één element.
De sets 1, 2, 1, 3, 2, 3 zijn de enige subsets van EEN met twee elementen.
Elke set is een subset van zichzelf. Dus EEN = 1, 2, 3 is een subset van EEN. Dit is de enige subset met drie elementen.

EEN EEN EEN

Voorbeeld 2

Voor het tweede voorbeeld zullen we de vermogensset van beschouwen B = 1, 2, 3, 4. Veel van wat we hierboven zeiden is vergelijkbaar, zo niet nu identiek:

De lege set en B zijn beide subsets.
Omdat er vier elementen zijn van B, er zijn vier subsets met één element: 1, 2, 3, 4.
Omdat elke subset van drie elementen kan worden gevormd door één element uit te verwijderen B en er zijn vier elementen, er zijn vier dergelijke subsets: 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4.
Het blijft om de subsets met twee elementen te bepalen. We vormen een subset van twee elementen gekozen uit een set van 4. Dit is een combinatie en die zijn er C (4, 2) = 6 van deze combinaties. De subsets zijn: 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4.

B B

schrijfwijze

Er zijn twee manieren waarop de power set van een set EEN wordt aangegeven. Een manier om dit aan te geven is het symbool gebruiken P( EEN), waar soms deze brief P is geschreven met een gestileerd script. Nog een notatie voor de vermogensset van EEN is 2^EEN. Deze notatie wordt gebruikt om de power set te verbinden met het aantal elementen in de power set.

Grootte van de Power Set

We zullen deze notatie verder onderzoeken. Als EEN is een eindige set met n elementen en vervolgens het vermogen VADER ) heeft 2ⁿ elementen. Als we met een oneindige set werken, is het niet nuttig om aan 2 te denkenⁿ elementen. Een stelling van Cantor vertelt ons echter dat de kardinaliteit van een set en zijn krachtset niet hetzelfde kunnen zijn.

Het was een open vraag in de wiskunde of de kardinaliteit van de machtset van een ontelbaar oneindige reeks overeenkomt met de kardinaliteit van de werkelijkheid. De oplossing van deze vraag is vrij technisch, maar zegt dat we ervoor kunnen kiezen om deze identificatie van kardinaliteiten te maken of niet. Beide leiden tot een consistente wiskundige theorie.

Vermogensreeksen in waarschijnlijkheid

Het onderwerp waarschijnlijkheid is gebaseerd op verzamelingenleer. In plaats van te verwijzen naar universele sets en subsets, praten we in plaats daarvan over voorbeeldruimten en gebeurtenissen. Soms willen we bij het werken met een voorbeeldruimte de gebeurtenissen van die voorbeeldruimte bepalen. De power set van de voorbeeldruimte die we hebben zal ons alle mogelijke gebeurtenissen geven.

Wetenschap