Wat is het snijpunt van twee sets?

Bij het omgaan met verzamelingenleer zijn er een aantal bewerkingen om van oude sets nieuwe sets te maken. Een van de meest voorkomende ingestelde bewerkingen wordt de kruising genoemd. Eenvoudig gezegd, het snijpunt van twee sets EEN en B is de verzameling van alle elementen die beide EEN en B gemeenschappelijk hebben.

We zullen details over het snijpunt in de verzamelingenleer bekijken. Zoals we zullen zien, is het sleutelwoord hier het woord "en".

Een voorbeeld

Laten we voor een voorbeeld van hoe het snijpunt van twee sets een nieuwe set vormt, de sets bekijken EEN = 1, 2, 3, 4, 5 en B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Om het snijpunt van deze twee sets te vinden, moeten we uitzoeken welke elementen ze gemeen hebben. De nummers 3, 4, 5 zijn elementen van beide sets, dus de snijpunten van EEN en B is 3. 4. 5].

Notatie voor kruispunt

Naast het begrijpen van de concepten met betrekking tot set-theorie-bewerkingen, is het belangrijk om symbolen te kunnen lezen die worden gebruikt om deze bewerkingen aan te duiden. Het symbool voor kruispunt wordt soms vervangen door het woord "en" tussen twee sets. Dit woord suggereert de compactere notatie voor een kruising die doorgaans wordt gebruikt.

Het symbool dat wordt gebruikt voor het snijpunt van de twee sets EEN en B is gegeven door EEN ∩ B. Een manier om te onthouden dat dit symbool ∩ verwijst naar kruising, is de gelijkenis met een hoofdletter A op te merken, wat staat voor het woord 'en'.

Raadpleeg het bovenstaande voorbeeld om deze notatie in actie te zien. Hier hadden we de sets EEN = 1, 2, 3, 4, 5 en B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dus we zouden de ingestelde vergelijking schrijven EEN ∩ B = 3, 4, 5.

Kruising met de lege set

Een basisidentiteit die betrekking heeft op de kruising laat ons zien wat er gebeurt als we de kruising nemen van elke set met de lege set, aangeduid met # 8709. De lege set is de set zonder elementen. Als er geen elementen zijn in ten minste een van de sets waarvan we proberen het snijpunt te vinden, hebben de twee sets geen elementen gemeenschappelijk. Met andere woorden, het snijpunt van een set met de lege set geeft ons de lege set.

Deze identiteit wordt nog compacter met het gebruik van onze notatie. We hebben de identiteit: EEN ∩ ∅ = ∅.

Kruising met de universele set

Voor het andere uiterste, wat gebeurt er als we de kruising van een set met de universele set onderzoeken? Vergelijkbaar met hoe het woord universum in de astronomie wordt gebruikt om alles te betekenen, bevat de universele set elk element. Hieruit volgt dat elk element van onze set ook een element van de universele set is. Het snijpunt van elke set met de universele set is dus de set waarmee we zijn begonnen.

Opnieuw komt onze notatie te hulp om deze identiteit beknopter uit te drukken. Voor elke set EEN en de universele set U, EEN ∩ U = EEN.

Andere identiteiten waarbij het kruispunt betrokken is

Er zijn nog veel meer setvergelijkingen waarbij gebruik wordt gemaakt van de snijpuntbewerking. Natuurlijk is het altijd goed om te oefenen met de taal van de settheorie. Voor alle sets EEN, en B en D wij hebben:

• Wederkerende eigenschap: EEN ∩ EEN =EEN
• Gemeenschappelijk eigendom: EEN ∩ B = B ∩ EEN
• Associatief eigendom: (EEN ∩ B) ∩ D =EEN ∩ (B ∩ D)
• Distributieve eigendom: (EEN ∪ B) ∩ D = (EEN ∩ D) ∪ (B ∩ D)
• DeMorgan's Law I: (EEN ∩ B)^C = EEN^C ∪ B^C
• Wet II van DeMorgan: (EEN ∪ B)^C = EEN^C ∩ B^C