Wat is de ongelijkheid van Markov?

De ongelijkheid van Markov is een nuttig resultaat in waarschijnlijkheid dat informatie geeft over een kansverdeling. Het opmerkelijke eraan is dat de ongelijkheid geldt voor elke verdeling met positieve waarden, ongeacht welke andere kenmerken het heeft. De ongelijkheid van Markov geeft een bovengrens voor het percentage van de verdeling dat boven een bepaalde waarde ligt.

Verklaring van de ongelijkheid van Markov

De ongelijkheid van Markov zegt dat voor een positieve willekeurige variabele X en elk positief reëel getal een, de waarschijnlijkheid dat X is groter dan of gelijk aan een is kleiner dan of gelijk aan de verwachte waarde van X gedeeld door een.

De bovenstaande beschrijving kan korter worden gesteld met behulp van wiskundige notatie. In symbolen schrijven we de ongelijkheid van Markov als:

P (X ≥ een) ≤ E( X) /een

Illustratie van de ongelijkheid

Om de ongelijkheid te illustreren, stel dat we een verdeling hebben met niet-negatieve waarden (zoals een chikwadraatverdeling). Als deze willekeurige variabele X heeft een verwachte waarde van 3, we zullen naar kansen voor een paar waarden van kijken een.

• Voor een = 10 Markovs ongelijkheid zegt dat P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Dus dat is een kans van 30% X is groter dan 10.
• Voor een = 30 Markovs ongelijkheid zegt dat P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Dus dat is een kans van 10% X is groter dan 30.
• Voor een = 3 Markovs ongelijkheid zegt dat P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Gebeurtenissen met een waarschijnlijkheid van 1 = 100% zijn zeker. Dit zegt dus dat een waarde van de willekeurige variabele groter is dan of gelijk aan 3. Dit is niet zo verrassend. Als alle waarden van X waren minder dan 3, dan zou de verwachte waarde ook minder dan 3 zijn.
• Als de waarde van een verhoogt, het quotiënt E(X) /een wordt kleiner en kleiner. Dit betekent dat de kans erg klein is dat X is heel, heel groot. Nogmaals, met een verwachte waarde van 3 zouden we niet verwachten dat er veel van de verdeling zou zijn met waarden die erg groot waren.

Gebruik van de ongelijkheid

Als we meer weten over de distributie waarmee we werken, kunnen we meestal de ongelijkheid van Markov verbeteren. De waarde van het gebruik is dat het geldt voor elke distributie met niet-negatieve waarden.

Als we bijvoorbeeld de gemiddelde lengte van studenten op een basisschool kennen. De ongelijkheid van Markov vertelt ons dat niet meer dan een zesde van de studenten een hoogte kan hebben die groter is dan zes keer de gemiddelde lengte.

Het andere belangrijke gebruik van de ongelijkheid van Markov is het bewijzen van de ongelijkheid van Chebyshev. Dit feit heeft tot gevolg dat de naam "Chebyshev's ongelijkheid" ook wordt toegepast op Markov's ongelijkheid. De verwarring over de naamgeving van de ongelijkheden is ook te wijten aan historische omstandigheden. Andrey Markov was de student van Pafnuty Chebyshev. Het werk van Chebyshev bevat de ongelijkheid die wordt toegeschreven aan Markov.