Wat is een Sigma-veld?

Er zijn veel ideeën uit de set-theorie die waarschijnlijk zijn. Eén zo'n idee is dat van een sigma-veld. Een sigmaveld verwijst naar de verzameling subsets van een voorbeeldruimte die we moeten gebruiken om een ​​wiskundig formele definitie van waarschijnlijkheid vast te stellen. De sets in het sigma-veld vormen de gebeurtenissen uit onze voorbeeldruimte.

Definitie

De definitie van een sigma-veld vereist dat we een voorbeeldruimte hebben S samen met een verzameling subsets van S. Deze verzameling subsets is een sigma-veld als aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:

• Als de subset EEN is in het sigma-veld, zo is zijn complement ook EEN^C.
• Als EEN_n  zijn ontelbaar oneindig veel subsets uit het sigma-veld, dan is zowel het snijpunt als de unie van al deze sets ook in het sigma-veld.

Implicaties

De definitie houdt in dat twee specifieke sets deel uitmaken van elk sigma-veld. Sinds beide EEN en EEN^C zijn in het sigma-veld, dus is het kruispunt. Dit kruispunt is de lege set. Daarom is de lege set onderdeel van elk sigma-veld.

De voorbeeldruimte S moet ook deel uitmaken van het sigma-veld. De reden hiervoor is dat de unie van EEN en EEN^C moet zich in het sigma-veld bevinden. Deze unie is de voorbeeldruimteS.

Redenering

Er zijn een aantal redenen waarom deze specifieke verzameling sets nuttig is. Eerst zullen we overwegen waarom zowel de set als het complement ervan elementen van de sigma-algebra zouden moeten zijn. Het complement in de verzamelingenleer is gelijk aan ontkenning. De elementen in het complement van EEN zijn de elementen in de universele set die geen elementen zijn van EEN. Op deze manier zorgen we ervoor dat als een gebeurtenis deel uitmaakt van de voorbeeldruimte, die gebeurtenis die niet voorkomt ook als een gebeurtenis in de voorbeeldruimte wordt beschouwd.

We willen ook dat de verzameling en kruising van een verzameling sets zich in de sigma-algebra bevinden, omdat vakbonden nuttig zijn om het woord 'of' te modelleren. EEN of B gebeurt wordt vertegenwoordigd door de unie van EEN en B. Op dezelfde manier gebruiken we de kruising om het woord "en" voor te stellen. De gebeurtenis die EEN en B gebeurt wordt weergegeven door het snijpunt van de sets EEN en B.

Het is onmogelijk om een ​​oneindig aantal sets fysiek te kruisen. We kunnen dit echter beschouwen als een limiet van eindige processen. Daarom nemen we ook de kruising en unie van ontelbaar veel subsets op. Voor veel oneindige monsterruimten zouden we oneindige unies en kruispunten moeten vormen.

Gerelateerde ideeën

Een concept dat gerelateerd is aan een sigma-veld wordt een veld met subsets genoemd. Een veld van subsets vereist niet dat telbaar oneindige unies en kruispunten er deel van uitmaken. In plaats daarvan hoeven we alleen eindige unies en kruispunten in een veld met subsets te bevatten.